Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Переопределенные системы уравнений (1.1) с матрицей A полного ранга часто встречаются на практике, например, при решении геодезических задач на водных путях, нахождении координат расположения судов в открытых акваториях по данным измерений, в процессе обработки результатов измерений деталей машин и механизмов, при управлении качеством продукции в серийном производстве и др. C переопределенными системами уравнений приходится иметь дело в информационно-измерительных и управляющих комплексах различного назначения, аппаратных средствах автоматизации технологических процессов и т.п.[6].
Поскольку измерения выполняются с погрешностями и математическая модель, как правило, не в полной мере адекватна объекту, переопределенная система позволяет "сгладить" влияние погрешностей на конечный результат. B этом случае принято говорить об оценивании параметров модели по экспериментальным данным, согласно выбранным критериям [13]. B простых ситуациях такими критериями могут быть различные нормы матриц и векторов: спектральная норма, l - норма, ¥ - норма, эвклидова (сферическая) норма и др.
Среди наиболее широко распространенных методов оценивания следует отметить метод наименьших квадратов [44], [52]. Его популярность объясняется, очевидно, тем, что он может быть применен в любом случае — как при наличии распределения вероятностей наблюдений, так и при их отсутствии. Если уровень помех пренебрежимо мал в сравнении с полезными сигналами, а экспериментальные данные модели, структура которой известна точно, являются информационными, то для линейных уравнений коэффициенты модели оцениваются точно.
B других случаях оценки, полученные при отсутствии распределений методом наименьших квадратов, могут иметь плохие характеристики, но в таких ситуациях ничего лучшего сделать невозможно. При определенном распределении вероятностей (например, нормальном) оценки на основе этого метода могут даже обладать оптимальными статистическими свойствами.
Метод наименьших квадратов используется в задачах "подгонки" статических характеристик.
Рассмотрим линейную стационарную модель системы, содержащую аддитивные составляющие
s = a1 y 1 + a2 y 2 +... + an y n+ v, (1.9)
где a1,...,an –постоянные коэффициенты,
y 1,..., у n — входные сигналы,
s - выходной сигнал,
v — сигнал помехи (шум измерений).
Предположим, что в процессе работы системы одновременно в фиксированные моменты времени измеряются входные сигналы и сигнал s. Обозначим их значения в моменты t1, t2,..., tm, соответственно, индексами 1, 2,..., т. Поскольку все измерения, в соответствии с выбранной моделью, отвечают (1.9), можно составить систему уравнений
s1 = а1y11 + а2у12 +...+ any 1n + v1, (1.10)
s2 = а1y21 + а2у22 +...+ any 2n + v2,
…………………………………
sm = а1ym1 + а2уm2 +...+ any mn + vm.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 315 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!