Расстояние между осями будет определено как

.

Таким образом, параллельный перенос, или трансляцию можно представить как преобразование, представляющее собой результат двух отражений () с параллельными осями и . Однако аналогично выражается и вращение плоского поля вокруг собственного центра (точка на рисунке 5.19).

Для параллельного переноса мы имеем несобственную точку (рисунок 5.23). Поэтому преобразование параллельного переноса можно отнести к преобразованию вращения с несобственным центром .

В заключении при сопоставлении рисунка 1.15 и таблицы 5.1 отметим, что гомология, как «представитель» проективных преобразований, в частном своем выражении переходит в виды аффинных преобразований, т.е. аффинные преобразования являются подгруппой проективных преобразований, у которых в аналитическом выражении (1.5)

,

функции , , являются многочленами первой степени.

В общих аффинных преобразованиях функциями отображения являются зависимости (3.2):

которые при различном сочетании коэффициентов принимают выражения более частных случаев не только аффинных, но и преобразований метрической геометрии. Эти частные случаи представлены в п. 5.5.3.

Основные положения преобразований метрической геометрии рассмотрены в п. 1.3.2, в котором отмечено, что элементарную (метрическую) геометрию, предметом которой являются фигуры пространства с евклидовой метрикой, можно рассматривать как теорию инвариантов группы движений и главной группы.

Движение, переводящее всякую точку в точку , записывается уравнениями (уравнениями движения):

(5.6)

Заметим, что выражение (5.6) определяет:

– при , – трансляцию плоскости на вектор ;

– при , – поворот плоскости на угол вокруг начала ;

– при , , – тождественное преобразование;

– при , , – симметрию относительно оси .

Таким образом, выражение (5.6) показывает, что трансляция, поворот, осевая симметрия и тождественное преобразование являются движениями. Из этого же выражения видно, что любое движение можно рассматривать и как произведение (композицию) каких-то из перечисленных преобразований.

Например, при выражение (5.6) определяет композицию поворота и трансляции, а при – композицию осевой симметрии, поворота и трансляции.

Уравнения преобразований подобия имеют вид:

(5.7)

В этом выражении для имеем подобие 1-го рода; для – подобия 2-го рода.

В соответствии с выражением (5.6) следовало бы в выражении (5.7) положить , однако в этом нет необходимости, так как правые части в этом выражении получают те же значения за счет изменения угла [8].

Вопросы и упражнения к пятому разделу

1 Сколько групп аксиом содержит система аксиом Д Гильберта? Перечислите эти группы.

2 Как принято называть в проективной геометрии фигуры?

3 Перечислите основные геометрические формы 1-й ступени.

4 К формам какой ступени относятся:

– пучок прямых, связка прямых;

– пространство точек, пространство плоскостей;

– связка плоскостей, пучок плоскостей.

5 Чем отличается принцип двойственности для плоскости и трехмерного пространства?

6 Какой вид проецирования положен в геометрический аппарат построения проективного пространства?

7 Перечислите особенности, отличающие евклидово пространство от проективного.

8 Что означает термин «разделенность пар точек»?

9 Чем отличается прямая теорема Дезарга от обратной?

10 Запишите символ конфигурации Дезарга.

11 Какими элементами можно задать гомологию?

12 Чем отличается гиперболическая гомология от эллиптической?

13 Чем отличается гиперболическая гомология от перспективно-аффинного преобразования?

14 Какой вид преобразования представляет инволюционная гомотетия?

15 Какое взаимное расположение имеют центр и ось гомологии, если она вырождается в трансляцию?

16 Каким видом преобразования является инволюционное родство?

17 Какие значения принимают коэффициенты и в системе уравнений аффинных преобразований:

– для ортогональной симметрии относительно оси (относительно оси );

– трансляции;

– ортогонального сжатия относительно оси ;

– гомотетии относительно начала координат;

– центральной симметрии относительно начала координат;

– для тождественного преобразования?

18 К какой группе преобразований относятся уравнения:

а)

б)