Краткие теоретические сведения. Системы исчислений - совокупность приемов наименования и обозначение чисел называется системой исчисления

Системы исчислений - совокупность приемов наименования и обозначение чисел называется системой исчисления. В качестве условных знаков для записи чисел используются цифры. Также системы исчислений можно интерпретировать как символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Система счисления:

· даёт представления множества чисел (целых или вещественных);

· даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);

· отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Системы счисления подразделяются на: позиционные, непозиционные и смешанные.

Система исчисления, в которой значение каждой цифры зависит от места в последовательности цифр в записи числа, называется позиционной. В цифровой технике используются позиционные системы счисления.

Система исчисления, в которой значение каждой цифры в произвольном месте последовательности цифр, обозначающей запись числа, не изменяется, называется непозиционной.

Смешанная система счисления является обобщением b -ричной системы счисления, она также, зачастую, относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел и каждое число представляется как линейная комбинация:

,

где на коэффициенты накладываются некоторые ограничения.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления можно считать представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина d дней h часов m минут s секунд соответствует значению секунд.

Чтобы определить число, недостаточно знать тип и алфавит системы исчисления. Для этого необходимо еще использовать правила, которые позволяют по значениям цифр установить значение числа. Простейшим способом записи натурального числа является изображение его с помощью соответствующего количества палочек, черточек или узелков. Таким способом можно обозначить небольшие числа. В непозиционной системе каждый знак в записи независимо от места означает одно и то же число. Хорошо известным примером непозиционной системы исчисления является римская система, в которой роль цифр играют буквы алфавита: І - один, V - пять, Х - десять, L - пятьдесят, С - сто, D -пятьсот, М - тысяча. Например, 324 = СССХХІ. В непозиционной системе исчисления арифметические операции выполнять неудобно и сложно.

Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году. Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки).

Рассмотрим привычную и общепринятую систему исчислений – позиционную.

Общепринятой в современном мире является десятичная позиционная система исчисления, которая из Индии через арабские страны пришла в Европу.

Десятичная непозиционная система исчисления с единичным кодированием десятичных цифр возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. в древнем Египте. В другой великой цивилизации — вавилонской — за две тысячи лет до н. э. внутри шестидесятеричных разрядов использовалась позиционная десятичная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр.

Древнейшая известная запись позиционной десятичной системы обнаружена в Индии в 595 г. Нуль в то время применялся не только в Индии, но и в Китае. В этих старинных системах для записи одинакового числа использовались символы, рядом с которыми дополнительно помечали, в каком разряде они стоят. С течением времени, для упрощения записи перестали помечать разряды, но число всё равно можно прочитать, так как у каждого разряда есть своя позиция. Если позиция оказывалась пустой, её необходимо было заменять нулём. В поздних вавилонских текстах такой знак стал появляться, но в конце числа его не ставили. Лишь в Индии нуль окончательно занял своё место, эта запись распространилась затем по всему миру.

Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, затем и в Западную Европу. О ней рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания чисел, записанных в позиционной системе, сделали её особенно популярной. А поскольку труд аль-Хорезми был написан на арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название — «арабская».

Основой рассмотренной системы является число десять. Основой системы исчисления называется число, означающее, во сколько раз единица следующего разряда больше чем единица предыдущего.

Общеупотребительной формой записи числа является сокращенная форма записи разложения по степеням основы системы исчисления, например:

Здесь 10 служит основой системы исчисления, а показатель степени - это номер позиции цифры в записи числа (нумерация ведется слева на право, начиная с нуля). Арифметические операции в этой системе выполняют по правилам, предложенным еще в средневековье. Например, складывая два многозначных числа, применяем правило сложения столбиком. При этом все сводится к сложению однозначных чисел, для которых необходимо знать таблицу сложения.

Проблема выбора системы исчисления для представления чисел в памяти вычислительных систем имеет большое практическое значение. В случае ее выбора обычно учитываются такие требования, как надежность представления чисел при использовании физических элементов, экономичность (использование таких систем исчисления, в которых количество элементов для представления чисел из некоторого диапазона было бы минимальном). Для изображения целых чисел от 1 до 999 в десятичной системе достаточно трех разрядов, то есть трех элементов.

Более распространенной для представления чисел в памяти вычислительных комплексов систем является двоичная система исчисления. Для изображения чисел в этой системе необходимо две цифры: 0 и 1, то есть достаточно двух стойких состояний физических элементов. Наибольшее распространение в цифровой технике имеет двоичная система счисления. Эта система близка к оптимальной по экономичности, и кроме того, таблицы сложения, вычитания и умножения в этой системе элементарные:

Если при поразрядном вычитании приходится вычитать из нуля в уменьшаемом единицу в вычитаемом, то делается заем в соседнем старшем разряде, т.е. единица старшего разряда представляется как две единицы данного разряда. Если в соседнем разряде или в нескольких старших разрядах стоят нули, то заем делается в ближайшем старшем разряде, в котором стоит единица. Эта единица представляется в виде суммы числа, состоящего из единицы во всех промежуточных разрядах, в которых находились нули, и двух единиц в данном разряде. Далее производится подразрядное вычитание в соответствии с таблицей. Естественно, что необходимости в дополнительном заеме во всех промежуточных разрядах появиться не может.

В цифровой технике операция вычитания с использованием заема практически не применяется (за исключением отдельных устройств) и реализуется как алгебраическое сложение с применением специальных кодов для представления отрицательных чисел (инверсия). При этом операция вычитания сводится к операции простого арифметического сложения при помощи обратного и дополнительного кодов, используемых для представления отрицательных чисел.

Обратный код отрицательных двоичных чисел может быть сформирован по следующему правилу: цифры всех разрядов, кроме знакового, заменяются на обратные (инвертируются) – единицы заменяются нулями, а нули единицами. В знаковый разряд ставится единица. Обратное преобразование из обратного кода в прямой производится по тому же правилу. При использовании обратного кода операция вычитания реализуется как арифметическое сложение положительного числа, представленного в прямом коде, с отрицательным числом, представленным в обратном коде. Например, при вычитании из числа числа уменьшаемое представляется как положительное число в прямом коде , а вычитаемое - как отрицательное число в обратном коде .

Перенос, возникающий из знакового разряда, при использовании обратного кода должен прибавляться в младший разряд суммы. В данном примере уменьшаемое по модулю больше вычитаемого, поэтому алгебраическая сумма положительная и представлена в прямом коде. Если уменьшаемое по модулю меньше вычитаемого результатом сложения будет отрицательное число и оно будет представлено в обратном коде.

Деление двоичных многоразрядных чисел включает в себя две операции – определение знака частного и определение его абсолютной величины.

Знаковый разряд частного может быть получен, как и знаковый разряд произведения, суммированием цифр знаковых разрядов делимого и делителя без формирования переноса. Абсолютная величина частного определяется делением чисел без учета их знаков.

Деление начинается с того, что от делимого слева отделяется группа разрядов, причем количество разрядов в этой группе должно либо равняться количеству разрядов в делителе, либо быть на один разряд больше. Если отделение такой группы возможно, в старший разряд частного записывается 1, в противном случае в разряд единиц частного записывается нуль. Если выявилось, что частное содержит целую часть, то образуется новая группа разрядов путем вычитания из выделенной группы делителя и приписывания к разности очередной цифры делимого. Если в результате получилось число, превышающее делитель, то в частное записывается 1, в противном случае следующая цифра будет равна 0.

В дальнейшем выполняется ряд одинаковых циклов. Если последняя цифра частного была равна 1, то новая группа образуется вычитанием делителя из предыдущей группы и приписыванием очередной цифры делимого. Если последняя цифра частного 0, то для образования новой группы достаточно приписать к предыдущей группе очередную цифру делимого. Последняя цифра целой части частного получается тогда, когда после определения очередной цифры частного 1 или 0 в делимом не останется больше цифр для того, чтобы приписывать их к разности между предыдущей группой и делителем или ь самой предыдущей группе. После этого начинается выделение дробных членов частного. Оно отличается от вычисления целых членов только тем, что вместо очередных цифр делимого к предыдущим группам приписываются нули.

Поскольку , а , то каждых три двоичных разряда числа образовывают один восьмиричный, а каждых четыре двоичных разряда - один шестнадцатиричный. Поэтому для сокращения записи адресов и содержимого оперативной памяти вычислительных систем используют шестнадцатиричную и восьмиричную системы исчисления. Ниже, в таблице 1 приведены первые 16 натуральных чисел записанных в десятичной, двоичной, восьмиричной и шеснадцатиричной системах исчисления.

Таблица 2.1

Система исчисления
десятичная	двоичная	восьмиричная	шестнадцатиричная

Для отладки программ и в других ситуациях в программировании актуальной является проблема перевода чисел из одной позиционной системы исчисления в другую. Если основа новой системы исчисления равняется некоторой степени старой системы исчисления, то алгоритм перевода очень простой: нужно сгруппировать справа налево разряды в количестве, равном показателю степени и заменить эту группу разрядов соответствующим символом новой системы исчисления. Этим алгоритмом удобно пользоваться при переводе числа из двоичной системы исчисления в восьмиричную или шестнадцатиричную. Например, , .

Перевод чисел из восьмиричной или шестнадцатиричной систем исчисления в двоичную происходит по обратному правилу: один символ старой системы исчисления заменяется группой разрядов новой системы исчисления, в количестве равном показателю степени новой системы исчисления. Например, ,

Как видим, если основа одной системы исчисления равняется некоторой степени другой, то перевод очень простой. В противном случае пользуются правилами перевода числа из одной позиционной системы исчисления в другую.

Алгоритмы перевода из одной позиционной системы исчисление в другую.

Шаг 1. Для перевода чисел из системы исчисления с основой в систему исчисления с основой , используя арифметику новой системы исчисления с основой , нужно записать коэффициенты разложения, основы степеней и показатели степеней в системе с основой и выполнить все действия в этой самой системе. Очевидно, что это правило удобно при переводе в десятичную систему исчисления. Например:

из шестнадцатиричной в десятичную:

из восьмиричной в десятичную:

из двоичной в десятичную:

Шаг 2. Для перевода чисел из системы исчисления с основой в систему исчисления с основой с использованием арифметики старой системы исчисления с основой нужно:

1) для перевода целой части:

последовательно число, записанное в системе основы, делить на основу новой системы исчисления, выделяя остатки. Последние записанные в обратном порядке, будут образовывать число в новой системе исчисления;

2) для перевода дробной части:

последовательно дробную часть умножать на основу новой системы исчисления, выделяя целые части, которые и будут образовывать запись дробной части числа в новой системе исчисления.

Этим же правилом удобно пользоваться в случае перевода из десятичной системы исчисления, поскольку ее арифметика для нас привычна.

Пример: , где:

для целой части	для дробной части
											0,
											0,
											1,
											0,
											1,
											1,

Вопросы для самопроверки:

Используя последние четыре цифры зачётной книжки (исходное число представленное в десятичной системе) выполните операции:

1. Перевод десятичного числа в двоичную, восьмиричную и шестьнадцатиричную систему исчисления.

2. Умножьте полученное в двоичной системе исчисления число на 1010,1011. Результат представьте в виде десятичного числа.

3. Найдите разность между исходным числом и результатом, получившимся в пункте 2 (порядка выполнения работ) числом в двоичном виде.

4. Результат действия пункта 3, переведите в десятичное число.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое система исчисления?

2. Типы систем исчисления и перевод чисел из одной системы в другую?

3. Что такое основа позиционной системы исчисления?

4. В чем состоит проблема выбора системы исчисления для представления чисел в памяти компьютера?

5. Какая система исчисления используется для представления чисел в памяти компьютера? Почему?

6. Каким образом осуществляется перевод чисел, если основа новой системы исчисления равняется некоторой степени старой системы исчисления?

7. По какому правилу переводятся числа из десятичной системы исчисления?