Гидростатика

Гидростатика изучает законы равновесия покоящейся жидкости. На покоящуюся жидкость действуют два вида сил: массовые (сила тяжести, сила инерции) и поверхностные (силы давления, центробежные силы).

Под действием внешних сил в каждой точке жидкости возникают внутренние силы, характеризующие ее напряженное состояние. Предел отношения равнодействующей внешних сил к элементарной площадке называют гидростатическим давлением:

. (1.9)

Гидростатическое давление обладает двумя свойствами: первое – оно всегда направлено по нормали к площадке, второе – в любой точке жидкости оно всегда одинаково по всем направлениям.

Если покоящаяся жидкость находится под действием только силы тяжести, то дифференциальное уравнение равновесия запишется как:

g∙dz = 0.

Интегрируя получим z = const, т.е. свободная поверхность есть горизонтальная плоскость, рис 1.1 а.

Рис. 1.1 - Формы свободной поверхности под действием силовых факторов: а – воздействие силы тяжести; б - воздействие силы тяжести и сил инерции; в - воздействие силы тяжести и угловой скорости.

Если жидкость заключена в сосуде, движущемся прямолинейно с постоянным ускорением j, то она находится в относительном покое (т.е. не перемещается относительно сосуда) и дифференциальное уравнение равновесия имеет вид:

- jdx + gdz = 0, (1.10)

откуда после интегрирования получим уравнение наклонной плоскости:

(1.11)

т.е. поверхность жидкости, находящейся под действием силы тяжести и силы инерции наклонена к горизонту под углом α (рис.1.1б):

(1.12)

Если жидкость заключена в сосуде, который вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω, то она находится в относительном покое и уравнение равновесия опишется как:

(1.13)

Интегрируя, получим:

или (1.14)

т.е. свободная поверхность жидкости приобретает вид параболоида вращения, рис. 1.1 в.

Рассмотрим жидкость, находящуюся в покое и определим гидростатическое давление Р в точке А на элементарной площадке S, расположенной на глубине h от свободной поверхности и параллельной ей, рис. 1.2.

Рис. 1.2 – Схема к выводу основного уравнения гидростатики

Сумма проекций всех сил на ось Z:

р∙dS - g∙h dS – р ₀ dS = 0 или р = р ₀ + g∙h, (1.15)

т.е. давление, приложенное к свободной поверхности жидкости, передается во все точки жидкости без изменения, это положение называется законом Паскаля.

Рассмотрим жидкость, находящуюся в сосуде под давлением Р ₀ и сообщающуюся с атмосферой, рис. 1.3. Абсолютное давление или полное гидростатическое давление в точке А состоит из:

р_абс = р_атм + g×h_р, (1.16)

а с другой стороны:

р_абс = р ₀ + g×h, (1.17)

откуда:

(1.18)

Величина h_P называется пьезометрической высотой.

Высоту поднятия жидкости в трубке (пьезометре) относительно плоскости отсчета называют пьезометрическим напором.

Для закрытого сосуда;

(1.19)

Рис. 1.3 – Схема установки пьезометра

Определим силы давления покоящейся жидкости на стенку сосуда. Рассмотрим случай давления на плоскую стенку, рис. 1.4.

Рис. 1.4 – Схема к определению сил давления покоящейся жидкости на плоскую стенку сосуда

Если плоская стенка подвергается одностороннему давлению жидкости (на несмоченной стороне стенки – атмосферное давление), то полная сила давления Р воспринимая стенкой и нормальная к ней:

Р = р_с∙F = g∙h_c∙F, (1.20)

где F – смоченная площадь стенки;

р_с – избыточное давление в центре тяжести площади F;

h_c – расстояние по вертикали от центра тяжести площади F до пьезометрической плоскости или плоскости напора 0-0.

Положение центра давления (точка D) определяется формулой:

(1.21)

где y_D и y_С – расстояния центра давления D и центра тяжести С стенки до линии пересечения плоскости стенки с пьезометрической плоскостью;

I_C – момент инерции площади стенки относительно оси С-С, проходящей через центр тяжести С.

Рис. 1.5 – Схема к определению сил давления покоящейся жидкости на криволинейную стенку сосуда

Формулу (1.21) можно привести к виду:

(1.22)

Для вертикальной стенки:

(1.23)

Для криволинейной стенки полная сила Р находится в плоскости, нормальной к образующей, рис.1.5

(1.24)

Горизонтальная составляющая:

Р_х = F_x∙p_cx, (1.25)

где F_x – площадь проекции криволинейной стенки на вертикальную плоскость,

p_cx = g∙h_cx – избыточное давление жидкости на уровне центра тяжести этой жидкости.

Вертикальная составляющая:

P_z = V∙g, (1.26)

где V – объем, ограниченный стенкой, вертикальным проектирующим цилиндром и пьезометрической плоскостью.

Положение линий действия горизонтальной составляющей (координаты h_DX) определяется как для вертикальной стенки.

Результирующая сила давления жидкости на поверхность, погруженного в нее тела равна весу жидкости в объеме погруженной части тела и направлена вверх по вертикали – закон Архимеда:

P= V_Т∙g, (1.27)

где V_Т – объем жидкости, вытесненной телом.

Линия действия выталкивающей силы проходит через центр тяжести вытесненного объема жидкости и называется центром водоизмещения, рис. 1.6. В общем случае центр водоизмещения (точка D) не совпадает с центром тяжести тела (точка С).

Рис. 1.6 – Схема действия сил на тело, погруженное в жидкость

Устойчивость тела при подводном плавании достигается при расположении его центра тяжести ниже центра водоизмещения D.

Надводное плавание устойчиво, если метацентр М находится выше центра тяжести С. Метацентр – точка пересечения линии действия подъемной силы Р, действующей на выведенное из равновесия плавающее тело с осью симметрии тела 0-0.

Остойчивость – это способность плавающего тела сохранять устойчивое равновесие при кренах. Мерой остойчивости служит метацентрическая высота МС. Чем больше высота МС, тем выше остойчивость, рис. 1.7.