Системы линейных однородных уравнений (ОСЛУ)

Определение. Система m линейных уравнений с n переменными называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю:

.

В матричной форме систему можно представить в виде: .

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как всегда имеет, по крайней мере, одно тривиальное решение (нулевое). Этот же вывод можно сделать и из теоремы Кронекера-Капелли, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы.

Теорема (критерий наличия ненулевого решения ОСЛУ). Однородная система линейных уравнений иметь ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг системы меньше числа неизвестных.

Доказательство. Пусть ОСЛУ имеет ненулевое решение. Тогда она неопределенна и, следовательно, r<n. ■

Следствие 1. Если число уравнений ОСЛУ меньше числа неизвестных, то она имеет ненулевые решения.

Доказательство. Действительно, , m – число уравнений. Так как m<n, то r<n и ОСЛУ имеет ненулевые решения. ■

Следствие 2. Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.

Доказательство. Действительно, пусть . Это означает, что единственный минор n -го порядка матрицы системы равен нулю и, в силу теоремы о ранге матрицы, r<n и ОСЛУ имеет ненулевые решения. ■

Если в системе линейных уравнений m= n, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение.

Пусть ранг системы r (A)= r. Далее будем рассматривать ОСЛУ с r<n. Решение системы запишем в виде вектора пространства Kⁿ: .

Множество таких решений обозначим . и - два произвольных решения системы.