Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Одна из центральных задач арифметики остатков - решение сравнения:
a · x º b (mod n)
- Если НОД (a, n) = 1, то существует ровно одно решение, и оно находится с помощью a -1: так как
a · a -1 º 1 (mod n),
то, домножив обе части сравнения на a -1, получим
x º b · a -1 (mod n).
- Если НОД (a, n) = g ¹ 1 и g | b, то сравнение имеет g решений. Чтобы их найти нужно разделить исходное сравнение на g:
a’ · x’ º b’ (mod n’),
где a’ = a / g, b’ = b / g, n’ = n / g. Если x’ – решение полученного сравнения, то решение исходного сравнения - любое число вида
x = x’ + i · n’,
где i = 0, 1,..., g – 1.
- В других случаях решений нет.
Пример:
7 · x º 3 (mod 143) – одно решение,
11 · x º 3 (mod 143) – решений нет,
11 · x º 22 (mod 143) – 11 решений.
Ситуация с единственным решением наиболее интересна для криптологии, поэтому важно знать количество элементов кольца, взаимно простых с его модулем. Оно дается функцией Эйлера j и равно j (n). Значение j (n) можно легко найти по разложению числа n на простые множители. Если
,
где pi – различные простые числа, то
Функция Эйлера для любого n > 2 имеет четное значение.
- наибольшее подмножество элементов, образующих группу по умножению # = j (n). (количество элементов мультипликативной группы кольца вычетов по модулю n равно j (n)).
Особый интерес представляют частные случаи:
1. Если p простое, то j (p) = p – 1.
2. Если p и q – простые и p ¹ q, то j (p · q) = (p – 1)(q – 1).
Если p - простое число, то любой элемент в Z p (или Z / p Z) обладает мультипликативным обратным. Кольца с такими свойствами называются полями.
Определение. Полем называется множество (F, ·, +) с двумя операциями, обладающее свойствами:
- (F, +) – абелева группа с нейтральным элементом 0,
- (F \ {0}, ·) – абелева группа с нейтральным элементом 1,
- (F, ·, +) удовлетворяет закону дистрибутивности (умножение дистрибутивно относительно сложения).
Поле – коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент обратим. Каждый ненулевой элемент кольца Z p взаимно прост с p, так как p простое и, следовательно, обратим. Значит Z p – конечное поле, которое обычно называют полем вычетов по модулю p и обозначают F p = {0, 1,..., p – 1}. Мультипликативная группа = {1,..., p – 1} поля вычетов содержит все ненулевые элементы F p.
Теорема Лагранжа. .
Обобщение Эйлера для малой теоремы Ферма. , при НОД(x, n) = 1.
Малая теорема Ферма. .
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 698 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!