Неоднородные системы

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:

— её расширенная матрица.

§ Ме́тод Га́усса ^[1] — классический метод решения системы линейных уравнений (СЛУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные^[2]. Достоинства: 1.Менее трудоёмкий по сравнению с другими методами. 2.Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение. 3. Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы^[4].

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы(причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Пример

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

, где — основная матрица системы, и — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на — матрицу, обратную к матрице :

Так как , получаем . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

6) Основная теорема арифметики.

Основная теорема арифметики

Любое составное число можно единственным (с точностью до перестановки сомножителей) образом представить в виде произведения простых чисел