Приклад розрахунку коефіцієнта Спірмена

Визначимо тісноту зв'язку між продуктивністю праці і рівнем механізації робіт на 10 промислових підприємствах. Дані наведені в табл. 2.

Таблиця 2

Продуктивність праці і рівень механізації робіт на 10 підприємствах

Підприємство	Середній вихід продукції в одиницю робочого часу, вир./год.	Коефіцієнт механізації робіт, %	Ранги значень змінних	Різниці рангів
t	yi	хi	wі	vі	(vі - wі)	(vі - wі)2
					+3
					–1
					–1
					–1
					+2
					–1
					–1
				8,5	+0.5	0,25
				8,5	–0,5	0,25
Сума						18,5

Наприклад, ранг v₅ =7 означає, що підприємство5 за рівнем механізації робіт стоїть на сьомому місці при розташуванні підприємств за зростанням відповідного показника. За даними табл.3 розрахуємо коефіцієнт рангової кореляції:

У послідовності рангів v_і існує одна зв’язана пара (“ланцюг”). Знайдемо поправочний коефіцієнт за формулами (2). У нашій задачі введення поправки не приведе до істотної зміни величини коефіцієнта рангової кореляції, тому що число ланцюгів і кількість рангів у ланцюзі невелике. Отже, маємо (j = 1):

Величина r_s свідчить про тісний позитивний зв’язок між продуктивністю праці і рівнем механізації робіт. Коефіцієнт парної кореляції, розрахований безпосередньо по вихідним даним, дорівнює: r_ух =0,833. Співставлення r_s і r_ух переконує в тому, що вони мало відрізняються один від одного. Коефіцієнт рангової кореляції в загальному є досить гарною характеристикою ступеню зв’язку досліджуваних змінних. Його перевага полягає в тому, що він не пов’язаний з передумовою нормальності розподілу вихідних даних. Але не слід уникати того, що при переході від початкових значень до рангів відбувається певна втрата інформації. Коефіцієнт рангової кореляції тим більше наближається до коефіцієнта парної кореляції, чим менше кореляційний зв’язок між досліджуваними змінними відрізняється від лінійного і чим тісніший цей зв’язок.

Метод рангової кореляції не вимагає лінійної кореляції між змінними. Однак, необхідно, щоб функція регресії, що відображує цей зв’язок, була монотонною.

Особливо корисною рангова кореляція є при дослідженні зв’язків між явищами, що не піддаються кількісній оцінці. У таких випадках дослідник на основі свого досвіду, чи порівнянь з яким-небудь еталоном, надає елементам вибірки ранги по кожному з досліджуваних якісних ознак. Наприклад, рангову кореляцію можна використовувати при дослідженні залежності між сортами продукції і виробничими витратами. При вивченні якості виробів їх часто класифікують по наступних рівнях: “відмінне, дуже гарне, гарне, середнє, погане”. Аналогічно можна скласти шкалу і для інших ознак.

Рангову кореляцію широко використовують також при анкетуванні й опитуваннях населення, при обробці результатів різноманітних тестів. Таким чином, рангова кореляція виявляється корисною завжди для вивчення зв'язків там, де властивості явищ не піддаються точному кількісному виміру, але дозволяють робити порівняльну оцінку, завдяки якій складають послідовності рангів.

2. Коефіцієнт рангової кореляції Кендела

Наступний коефіцієнт рангової кореляції t, не пов’язаний з передумовою нормальності генеральної сукупності, був запропонований Кенделом. Він обчислюється по рангах v_і і w_і. При цьому елементи вибірки розташовують так, щоб послідовність рангів однієї із змінних була натуральним рядом 1,2, ...,п. Для кожного i-го члена послідовності рангів другої змінної встановлюємо числа p_i і q_i, що відображують відповідно прямій і зворотній порядок розташування наступних рангів. Потім підраховуємо суми цих чисел та , а також різницю отриманих S= Р – Q. Коефіцієнт рангової кореляції є відношенням цієї різниці до найбільшого можливого значення Р и Q, тобто до найбільшої можливої суми p_i або q_i. Таку величину можна отримати лише тоді, коли порядок рангів в обох послідовностях цілком збігається. Вона дорівнює:

Коефіцієнт рангової кореляції Кендела можна обчислювати по одній з еквівалентних формул:

Таким чином, для визначення t досить розрахувати величину Р, або Q. Найчастіше в формулу підставляють ту величину, яка має найменше значення. Величина t лежить у межах –1 £ t £ +1. За даними таблиці 3отримуємо:

По величині цього коефіцієнту можна зробити висновок про тісний зв'язок між продуктивністю праці і рівнем механізації робіт.

Розглянемо розрахунок t по таблиці3.

Таблиця 3

	Ранги	Число рангів, розташованих у прямому порядку	Число рангів, розташованих у зворотному порядку
i	vi	wi	pi (≥)	qi (≤)
	8,5
	8,5
Сума:			Р=40	Q=5

Для цього використовуємо тільки послідовність рангів v_і. За першим числом цього ряду v₁ = 4 розташовано 6 рангів, які більше 4, і 3 рангів, які менші 4. За другим членом v₂ =1 знаходяться 8 рангів, які більше 1, і 0 рангів, які менше 1. П’яте місце в послідовності займає ранг v₅ =7, за яким знаходяться 3 більших рангів і 2 менших ранги. Число можливих положень і-го рангу в послідовності дорівнює: (p_i + q_i) = п – i. Наприклад, для першого члена послідовності 10 – 1 = 9, для другого 10 – 2 = 8. Цим можна скористатися для контролю.

Коефіцієнти Спірмена та Кендела побудовані по-різному, тому порівнювати ці коефіцієнти по величині само по собі не дає ніякої додаткової інформації про інтенсивність зв’язку.

3. Індекс Фехнера

Простим показником ступеню взаємозв’язку між двома статистичними рядами є індекс Фехнера. Для його визначення спочатку по кожному ряду обчислюють середні () і визначають знаки відхилень і . Кожна пара спостережень (x_i, y_i) буде характеризуватися співпаданням знаків (+ +; – –; + –; – +). Позначимо через v кількість співпадань, а через w– кількість розбіжностей знаків “ – ”. Індекс Фехнера i визначається за формулою:

Половину відхилень, що дорівнюють нулю, відносять до v, половину – до w. Значення і знаходиться у інтервалі +1£ і £ – 1. При i > 0 маємо позитивну кореляцію, при i < 0 – від’ємну, а при i = 0 зв’язок відсутній.

Безсумнівною перевагою індексу Фехнера є простота обчислення. Але його великий недолік полягає в тому, що він враховує тільки кількість збігів і розбіжностей знаків відхилень. Тому він рекомендується лише для приблизної оцінки зв’язку.

4. Коефіцієнт конкордації

В економіці існує велике число причинно-обумовлених явищ, ознаки яких не піддаються точній кількісній оцінці. Це так названі атрибутивні ознаки. Наприклад, професія, форма власності, якість виробу, технологічні операції і т.д. Фахівець або експерт ранжує елементи сукупності, при цьому надає кожному з них порядковий номер, що відповідає підсумкам порівняння даної ознаки з іншими елементами. Якщо кількість ознак-змінних більше двох, то в результаті ранжування n елементів (підприємств або установ) з’являються т послідовностей рангів. Для перевірки, чи добре погоджені між собою отримані т рядів, використовується коефіцієнт погодження W, який називається коефіцієнтом конкордації Кендела і розраховується:

При наявності пов'язаних рангів коефіцієнт конкордації W обчислюється по формулі:

де , i = 1,2,..., т – сума рангів, наданих всіма експертами і-му елементу вибірки, мінус середнє значення цих сум рангів; т – число експертів або ознак, зв'язок між якими оцінюється; п – обсяг вибірки (число підприємств чи установ), , де B_k – число пов’язаних рангів k=1,...z. Наприклад, якщо пов’язуються елементи від восьмого до одинадцятого включно, тоді В_k=4. Коефіцієнт W приймає значення в інтервалі 0 £ W £ 1.

Приклад розрахунку

Маємо групу, яка складається з трьох експертів і оцінює якість однотипних виробів, виготовлених на 6 підприємствах. Кожен експерт упорядкував вироби за ступенем переваги. Результати наведені в стовпцях 2, 3, 4 таблиці 4.

Сума рангів для кожного і-го підприємства зазначена в стовпці 5. Для визначення D необхідно спочатку обчислити середнє значення по сумах рангів:

Таблиця 4

Висновки експертів про якість виробів, які виготовлені на 6 підприємствах

Підприємство	Експерти	Сума рангів
і					D	D
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)
					–6,5	42,25
					–4,5	20,25
		4,5		11,5	+1,0	1,00
		4,5		15,5	+5,0	25,00
					–1,5	2,25
					+6,5	42,25
Сума						133,00

Отримане середнє значення віднімаємо із кожної i-ої суми рангів і різницю записуємо в стовпець 6. Суму квадратів відхилень підставляємо в чисельник формули. У знаменнику формули міститься величина В. Для нашого приклада В = (2³–2) + (3³–3) = 30. Число підприємств n = 6, число експертів т = 3. Таким чином, коефіцієнт W:

Величина коефіцієнта W дозволяє зробити висновок, що при оцінці якості виробів думки експертів погоджуються між собою. Якщо замість експертів розглядати ознаки явищ, то цілком очевидно, що коефіцієнт W буде єдиною вибірковою мірою зв’язку між цими ознаками. Таким чином, коефіцієнт конкордації можна розглядати як показник тісноти зв’язку у випадку множинної регресії.

Контрольні питання:

1. Що таке рангова кореляції і при яких дослідженнях вона використовується.

2. Дайте визначення простих рангів.

3. Дайте визначення зв’язаних рангів.

4. Як обчислюється коефіцієнт рангової кореляції Спірмена і який його економічний зміст.

5. Коефіцієнт рангової кореляції Кандела і його економічний зміст.

6. Індекс Фехнера і його економічний зміст.

7. Коефіцієнт конкордації Кендела і його економічний зміст.

Лабораторна робота № 6

(4 години)

Тема: “Лінійні моделі з наявною мультиколінеарністю,

їх оцінка та методи усунення”

Мета роботи: навчитись визначати наявність мультиколінеарності у лінійних моделях. Засвоїти методи оцінки моделей і усунення мультиколінеарності.

Завдання:

Відповідно до номера варіанту визначити:

1. Наявність мультиколінеарності у запропонованій залежності y = f(x₁,x₂, х₃). Y звяти з лабораторної роботи №1, а х₁, х₂ та х₃ наведено в наступній таблиці.

2. Побудувати економетричну модель без мультиколінеарності.