Элементы линейной алгебры, аналитической геометрии и линейного программирования

По теме «Аналитическая геометрия» рассмотрим решение типовой задачи.

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А(-4;8), В(5;-4), С(10;6).

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;

3) угол А в радианах;

4) уравнение высоты СD и ее длину;

5) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр;

6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение.

1. Найдем длину стороны АВ.

Расстояние d между точками М₁(х ₁; у ₁) и М₂(х ₂; у ₂) определяется по формуле:

. (1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

АВ= .

2. Уравнение прямой, проходящей через точки М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂), имеет вид:

(2)

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

3 у –24 =–4 х –16, 4 х +3 у –8=0 (АВ)

Для нахождения углового коэффициента к _АВ прямой АВ, разрешим полученное уравнение относительно у: у = .

Отсюда к _АВ = .

Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС:

х +7 у –52=0 (АС).

Отсюда к _АС = .

3. Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны к ₁ и к ₂, определяется по формуле:

(3)

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее к ₁ = к _АВ = , к ₁ = к _АС = .

4. Так как высота СD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.

к _СD = .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₁(х₁; у₁) в заданном направлении, имеет вид:

(4)

Подставив в (4) координаты точки С(10;6) и к _СD = , получим уравнение высоты СD:

у – 6 = (х – 10), 4 у – 24 = 3 х – 30, 3 х – 4 у – 6 = 0 (СD). (5)

Для нахождения длины СD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (CD):

, откуда х = 2, у = 0, то есть D (2; 0).

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:

СD = .

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точка Е() имеет вид:

(6)

Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка СD. Воспользуемся формулами деления отрезка пополам, получим:

Следовательно, Е (6; 3) и R = = 5. Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности:

.

6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А, а третья ограничена прямой АС и содержит точку В.

Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:

> 0.

Поэтому искомое неравенство имеет вид: 4 х +3 у .

Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:

(ВС).

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем:

< 0. Искомое неравенство будет 2 х – у – 14 . Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащую точку В: < 0. Третье искомое неравенство будет х +7 у –52 . Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств:

На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображен треугольник АВС, высота СD, окружность с центром в точке Е и диаметром CD

Рис. 1