Раздел 2. Сложные события

Теория сложных событий позволяет по вероятностям простых событий определять вероятности сложных. Она базируется на теоремах сложения и умножения вероятностей.

1) Суммой (объединением) двух событий А и В называется новое событие А+В, заключающееся в проявлении хотя бы одного из этих событий.

2) Произведением (пересечением) двух событий А и В называется новое событие АВ, заключающееся в одновременном проявлении обоих событий. А*В=АВ, АА=А, АВА=АВ.

3) Событие А влечет за собой появление события В, если в результате наступления события А всякий раз наступает событие В. АÌВ

А=В: АÌВ, ВÌА

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления другого.

Если события несовместны, то АВ=Æ.

События А₁, А₂, …А_n образуют полную группу событий в данном опыте, если они являются несовместными и одно из них обязательно происходит:

A_iA_j=Æ (i¹j, i,j=1,2…n)

A₁+A₂+…+A_n=W

-событие противоположное событию А, если оно состоит в не появлении события А.

А и - полная группа событий, т.к. А+ =W, А =Æ.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей событий:

Р(А+В+С+…) = Р(А) + Р(В) + Р(С) +…

Следствие. Если события A₁+A₂+…+A_n - полная группа событий, то сумма их вероятностей равна 1.

P(A+ ) = P(A) + P() = 1

Вероятность наступления двух совместных событий равна:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) – Р(АВС)

Теорема. Если АÌВ, то Р(А) £ Р(В).

В=В₁+В₂ (В₁=А) Р(В)=Р(В₁) + Р(В₂)= Р(А) + Р(В₂)

Теорема умножения вероятностей. Условные вероятности.

Опыт повторяется n раз, m_B раз наступает событие В, m_АВ раз наряду с событием В наступает событие А.

hn(B) = hn(AB) =

Рассмотрим относительную частоту наступления события А, когда событие В уже наступило:

- условная вероятность события А по событию В – вероятность события А, когда событие В уже наступило.

Свойства условных вероятностей.

Свойства условных вероятностей аналогичны свойствам безусловных вероятностей.

1. 0 £ Р(А/В) £ 1, т.к. ; АВ Ì В, Р(АВ) £ Р(В)

2. Р(А/А)=1

3. ВÌА, è Р(А/В)=1

4.

5. Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) – Если события А и С несовместны

Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) - Р(АC/В) – Если события А и С совместны

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого.

Свойства независимых событий.

Если события А и В независимы, то независимы и каждая из пар: А и В, А и , и В, .

Если события Н₁, Н₂, …Н_n независимы, то заменяя любые из них на противоположные, вновь получаем независимые события.

Формула полной вероятности.

Вероятность события В, которое может произойти совместно только с одним из событий Н₁, Н₂, …Н_n, образующих полную группу событий, вычисляется по формуле:

События А₁, А₂, …А_n называют гипотезами.

Теорема гипотез (формула Байеса).

Если до опыта вероятности гипотез были Р(Н₁), Р(Н₂)…Р(Н_N), а в результате опыта произошло событие А, то условные вероятности гипотез находятся по формуле:

Пример. На трех технологических линиях изготавливаются микросхемы. Найти: 1) вероятность того, что случайно выбранное изделие оказывается бракованным; 2) вероятность того, что если изделие дефектно, то оно изготовлено на 1 линии.

№ линии	Количество изготавливаемых микросхем	Вероятность брака
	25%	5%;
	35%	4%
	40%	2%

Рассмотрим события: Н₁, Н₂,…Н_i,…,Н_N (полная группа событий)– изделие изготавливается i линией; А{изделие с браком}.

1) Р(А)=0,25*0,05+0,35*0,04+0,4*002=0,0345=3,45%

2)

Схема последовательных испытаний Бернулли.

Проводится серия из n испытаний, в каждом из которых с вероятностью р может произойти событие А, с вероятностью q=1-р событие .

Вероятность наступления события А не зависит от числа испытаний n и результатов других испытаний.

Такая схема испытаний с двумя исходами (событие А наступило либо не наступило) называется схемой последовательных испытаний Бернулли.

Пусть при n испытаниях событие А наступило k раз, (n-k) раз событие .

- число различных комбинаций события А

Вероятность каждой отдельной комбинации:

Вероятность того, что в серии из n испытаний событие А, вероятность которого равна р, появится k раз:

- условие нормировки.

Пример. Вероятность изготовления нестандартной детали равна р=0,25, q=0.75. Построить многоугольник распределения вероятностей числа нестандартных деталей среди 8 изготовленных.

N=8 p=0.25 q=0.75

Если k₀ – наивероятнейшее число, то оно находится в пределах:

np-q £ k₀ £ np+q

Если число (np+q) нецелое, то k₀ – единственное

Если число (np+q) целое, то существует 2 числа k₀.

Предельные теоремы в схеме Бернулли.

1. Предельная теорема Пуассона. При р»0, n-велико, np= l £ 10.

Формула дает распределение Пуасона, описывает редкие события.

2. Предельная теорема Муавра-Лапласа.

0 £ p £ 1, n –велико, np>10

- стандартное нормальное распределение

3. Предельная интегральная теорема Муавра-Лапласа.

В условиях предыдущей теоремы вероятность того, что событие А в серии из n испытаний наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз:

- функция Лапласа

Следствие:

Пример. ОТК проверяет на стандартность 1000 деталей. Выбранная деталь с вероятностью р=0,975 является стандартной.

1) Найти наивероятнейшее число стандартных деталей:

K₀=np=975

2) Найти вероятность того, что число стандартных деталей среди проверенных отличается от k₀ не более чем на 10.

3) С вероятностью 0,95 найти максимальное отклонение числа стандартных деталей среди проверенных.

4) Найти число проверяемых деталей n, среди которых с вероятностью 0,9999 стандартные детали составят не менее 95%.

0,95n £ k £ n

P(0,95n £ k £ n)=0.9999 = Ф(х₂)- Ф(х₁) =

n=3.9²*39=594

при р=0,9999 n=594

при р=0,999 n=428

при р=0,99 n=260