Пример с использование традиционных способов расчета

На первом этапе проведем вычисление традиционным, а потому и самым утомительным способом, т.е. «вручную». Здесь нам в лучшем случае может помочь лишь калькулятор.

Рис.1. Графическое изображение исследуемой зависимости y = f (x)

Вычисление коэффициентов регрессии удобнее проводить в табличной форме. Для этого заполним табл.5, в которой, помимо исходных данных (их мы расположим по столбцам), в графах 4-8 укажем вспомогательные расчетные данные.

Для проверки правильности вычисления в таблице можно использовать следующее выражение: Σ(х+у)2 = Σ х 2 + 2Σ ху + Σ у 2.

1. Определим среднее арифметическое для каждого ряда − для х и у. Они составят соответственно: ⎯ х = 59,5/8 = 7,44 ч и у = 61,5/8 = 7,69 кг. Значения полученных сумм подставляем в формулу для последующейпроверки. Получим:

2072,00 = 541,75 + 2×510,25 + 509,75;

2072,00 = 2072,00.

Следовательно, вычисления выполнены правильно.

Таблица 5

Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов регрессии

№ п/п	x	y	x2	y2	xy	x+y	(x+y)2
	1,5	5,0	2,25	25,00	4,5	6,5	42,25
	4,0	4,5	16,0	20,25	18,0	8,5	72,25
	5,0	7,0	25,0	49,0	35,0	12,0	144,0
	7,0	6,5	49,0	42,25	45,5	13,5	182,25
	8,5	9,5	72,25	90,25	80,75	18,0	324,0
	10,0	9,0	100,0	81,0	90,0	19,0	361,0
	11,0	11,0	121,0	121,0	121,0	22,0	484,0
	12,5	9,0	156,25	81,00	112,5	21,5	462,25
Итого	Σ=59,5	Σ=61,5	Σ=541,75	Σ=509,75	Σ=510,25	Σ=121,00	Σ=2072,00

2. Рассчитаем теперь коэффициенты и по известным формулам:

, кг

, кг/ч

Следовательно, уравнение регрессии, т.е. формула, с некоторой вероятностью отображающая зависимость у от х, имеет следующий вид:

ŷ = 3,73 + 0,53 х.

3. Для проверки значимости (пригодности) полученного уравнения регрессии применяют специальные приемы. Такую проверку называют проверкой адекватности модели.

Для количественной проверки гипотезы об адекватности можно использовать так называемый F − критерий (критерий Фишера):

где − остаточная дисперсия, или дисперсия адекватности.

Она характеризует величину среднего разброса экспериментальных точек Δ у относительно линии регрессии, т.е. Δ у = yi - ŷi (Δ у есть ошибка в предсказании экспериментального результата на основании математической модели).

Остаточная дисперсия, таким образом, позволяет оценить ошибку, с которой уравнение регрессии предсказывает фактический результат. Следовательно, минимальная величина остаточной дисперсии должна свидетельствовать о более удачном выборе линии регрессии.

Вообще в статистике принято считать, что применение критерия минимальности остаточной дисперсии является вполне надежным способом отбора адекватных экономико-математических моделей.

Чтобы определить, велика или мала ошибка в предсказании эмпирических результатов, ее нужно сопоставить с некоторой статистической величиной (эталоном), принимаемой в качестве критической. Вот почему используется расчетный F-критерий, который затем сравнивают с F крит.

Если F расч < F крит, то модель признается адекватной, т.е. с заданной степенью достоверности (надежности) она верно предсказывает реальный результат. Если же F расч > F крит, то вывод обратный: данное уравнение не может с заданной надежностью прогнозировать эмпирические данные.

Проверка адекватности модели по критерию Фишера дает возможность ответить на вопрос, во сколько раз хуже по сравнению с опытом предсказывает результат модель.

Остаточная дисперсия рассчитывается путем деления остаточной суммы квадратов на число степеней свободы f по следующей формуле:

Здесь число степеней свободы f = n − (k + 1), где n − число опытов в эксперименте (т.е. объем случайной выборки); k − число изучаемых факторов.

Для однофакторного эксперимента имеем f = n − 2 и тогда

Вторая характеристика в формуле для расчета F -критерия (знаменатель) − это так называемая усредненная, или общая дисперсия. В качестве таковой принимается квадрат стандартной ошибки . Этот показатель фактически характеризует случайную ошибку для всей выборки, т.е. оценивает несоответствие между конкретными (текущими) значениями результата эксперимента и средним арифметическим.

Общая дисперсия рассчитывается так:

Вернемся к нашему примеру. Оценим статистическую пригодность полученного линейного уравнения. Показатель удобно вычислять в табличной форме (табл.6). Расчет проведем по формулам:

, и

Таблица 6

Вспомогательная таблица для проверки уравнения на адекватность

№ п/п	xi	yi
	1.5	5.0	4.53	0.47	0.221	2.69	7.24
	4.0	4.5	5.85	-1.35	1.822	3.19	10.18
	5.0	7.0	6.36	0.62	0.384	0.69	0.48
	7.0	6.5	7.44	-0.94	0.884	1.19	1.42
	8.5	9.5	8.24	1.26	1.588	1.81	3.28
	10.0	9.0	9.03	-0.03	0.001	1.31	1.72
	11.0	11.0	9.53	1.44	2.074	3.31	10.96
	12.5	9.0	10.35	-1.35	1.882	1.31	1.72
	Σ=59,5	Σ=61,5		Σ=0,12	Σ=8,86	Σ=15,51	Σ=36,3

Определим величину критерия Фишера:

Определим табличное значение для α = 0,05, а также степеней свободы для числителя f 1 () и знаменателя f 2 (). Они составят соответственно f 1 = n −2, т.к. f =n −(k+ 1), где n − число опытов в эксперименте (т.е. составляет объем случайной выборки); k −число изучаемых факторов. Для однофакторного эксперимента имеем f=n −2.

Для второго показателя f 2= n − m, где m −количество вычисленных констант для переменной у, которая соответствует среднемарифметическому ⎯ у (т.е. m= 1). Тогда f 2= n −1,а F крит (0,05; f 1; f 2) = 3,87 (прил.3).

Поскольку 0,24<3,87, то с вероятностью 95% можно утверждать, что рассматриваемое уравнение адекватно и способно с указанной достоверностью предсказывать экспериментальные результаты.

Если теперь возвратиться к самому обсуждаемому заданию, то можно заметить, что смышленый студент Боб Деканкин вполне управился с порученным делом. Он сообщил пытливому г-ну Тютякину, что на основании имеющихся опытных данных можно уверенно спрогнозировать (с надежностью 95%) результат сбора медного лома: за 8 часов работы это составит почти 8 кг (3,7 + 0,53×8=7,97).

Примечание. В литературе по статистике обычно используются дваподхода к оценке F расч: либо как отношение / , либо как / . Соответственно и статистический вывод на основании сравнения вычисленного F- критерия и эталонного F крит дается с учетом принятого соотношения. Нами рассматривается версия, когда F расч = / ; в то же время в компьютерной программе используется обратное отношение, т.е. F расч= / . Это различие не носит принципиального характера. Важно только помнить, какой прием для анализа используется и, следовательно, каким образом дается надлежащее заключение.