Середня арифметична

Оскільки для більшості соціально-економічних явищ характерна адитивність обсягів (виробництво цукру, витрати палива тощо), то найпоширенішою є арифметична середня, яка обчислюється діленням загального обсягу значень ознаки на обсяг сукупності.

За первинними, незгрупованими даними обчислюєть­ся середня арифметична проста:

де x_i – індивідуальні значення ознаки (варіанти,)

n – число варіант (обсяг сукупності).

За цією ж формулою обчислюються середні у динамічному ряду.

Якщо в січні фірма продала 315 одиниць продукції, у лютому — 305 од., а в березні — 340 од., то середньомісячний продаж продукції: (315 + 305 + 340): 3 = 320 одиниць.

Моментні показники замінюються середніми як півсума значень на початок і кінець періоду. Якщо моментів більш ніж два, а інтервали часу між ними рівні, то в чисельнику до півсуми крайніх значень додають усі проміжні, а знаменником є число інтервалів, яке на одиницю менше від числа значень ознаки. Таку формулу називають середньою хронологічною:

Наприклад, на фірмі залишки обігових коштів на початок кожного місяця І кварталу становили, млн грн.: січень — 70, лютий — 82, березень — 77, квітень — 80. Середньомісячний залишок обігових коштів, млн грн.:

У великих за обсягом сукупностях окремі значення ознаки (варіанти) можуть повторюватись. У такому разі обсяг значень ознаки можна визначити як (де fi – частота варіант, причому f₁+f₂+…f_k = n). Такий процес множення у статистиці називають зважування. Вагами можуть бути частоти або частки (відносні величини структури), іноді інші величини.

Значення ознаки осереднюються за формулою середньої арифметичної зваженої:

При розрахунку середньої за інтервальним рядом розподілу в якості варіант використовують середнє значення інтервалу як напівсуму його граничних значень. Ширину відкритого інтервалу умовно приймають такою ж, як і в сусідньому закритому інтервалі.

Функціонально середня зважена більш навантажена ніж проста середня, оскільки враховує повторюваність кожної варіанти і певною мірою відображує склад сукупності. Значення середньої зваженої залежить не лише від значень варіант, а й від структури сукупності. Чим більшу вагу мають малі значення ознаки, тим менша середня, і навпаки.

У структурованій сукупності при розрахунку середньої зваженої варіантами можуть бути як окремі значення ознаки, так і групові середні , кожна з яких має відповідну вагу у вигляді групових частот f_j. Таку середню називають загальною середньою.

де m - кількість груп

Для альтернативної ознаки, яка приймає взаємо виключені значення 1 або 0, середня величина є часткою елементів сукупності d₁ з ознакою, що цікавить дослідника:

Наприклад, з 230 працівників 46 мають намір змінити професію. В цьому випадку d₁ = 46:230 = 0,20, тобто середній рівень потенційної професійної мобільності працівників складає 20%.

Для ознак порядкової (рангової) шкали використовуються різні варіанти оцифрування. Так, окремим пунктам 3-бальної шкали можна надати значень 1, 2, 3 або –1, 0, 1. Очевидно, що розраховані для цих варіант оцифрування середні бали будуть відрізнятися. Тому для ознак такої шкали звичайно розраховується нормований середній бал, який відображує рівень підтримки по питанню, що досліджується. Спочатку ранжують значення ознаки в порядку зростання якості (починаючи з 1), а далі розраховують нормований бал за формулою

де - середньозважений ранг (х – ранг ознаки),

R - розмах шкали рангів (різниця між найбільшим та найменшим значеннями рангової шкали),

x’ - середина шкали рангів (яка дорівнює напівсумі граничних рангів).

За даними таблиці 4.1 оцінимо ставлення населення до смертної кари.

Таблиця 4.1 - Ставлення населення до смертної кари

Варіанти відповідей	Число респондентів	Ранги	xf
Категорично проти	21	1	21
Не визначився	32	2	64
Повністю підтримую	47	3	141
Разом	100		226

Тобто, рівень підтримки населенням смертної кари складає у середньому 63%.

Середня арифметична має певні властивості:

1. Алгебраїчна сума відхилень всіх варіант від середньої дорівнює нулю. (тобто в середній взаємно компенсуються додатні та від’ємні відхилення окремих варіант).

2. Сума квадратів відхилень варіант від середньої арифметичної є меншою, ніж від будь-якої іншої величини, тобто

3. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) на одну й ту саму величину А або в А раз, то й середня зміниться аналогічно.

4. Значення середньої залежить не від абсолютних значень ваг, а від пропорцій між ними. Тобто якщо частоту кожної з груп зменшити або збільшити в одну й ту ж кількість раз, то середня при цьому не зміниться.

Згідно з цією властивістю замість абсолютних ваг — частот f_j — можна використати відносні ваги у вигляді часток або процентів.

Наприклад, на акції трьох різних компаній очікується щорічний прибуток, %: 15, 22, 18. За умови, що інвестор розподілив свої внески між акціями цих компаній у пропорції 30, 20 та 50%, очікуваний прибуток від такого портфеля акцій

Третю й четверту властивості використовують для спрощення обчислення середньої за рядом розподілу методом, який називається відліком від умовного нуля.

Формула розрахунку середньої методом відліку від умовного нуля має вигляд:

де х₀ – умовний нуль (за який приймають варіанту з найбільшою частотою);

k - загальний множник, що міститься у варіантах або у відхиленнях варіант від початку відліку,

Таким чином - умовна варіанта

Розрахунок середньої з х' проводиться за формулою:

Тобто

Приклад. Обчислити середню арифметичну розподілу підприємств за обсягом випуску продукції за даними таблиці 4.2

Таблиця 4.2 - Розподіл підприємств за обсягом випуску продукції

Обсяг випуску продукції, тис. од.	Середина інтервалу, хi	Кіль-кість підпри- ємств, fі	хі-х0 (х0= =16,55)	(к = 0,3)
1	2	3	4	5	6
14,3-14,6	14,45	1	-2,1	-7	-7
14,6-14,9	14,75	2	-1,8	-6	-12
14,9-15,2	15,05	8	-1,5	-5	-40
15,2-15,5	15,35	26	-1,2	-4	-104
15,5-15,8	15,65	65	-0,9	-3	-195
15,8-16,1	15,95	120	-0,6	-2	-240
16,1-16,4	16,25	181	-0,3	-1	-181
16,4-16,7	16,55	201	0	0	0
16,7-17,0	16,85	170	0,3	1	170
17,0-17,3	17,15	120	0,6	2	240
17,3-17,6	17,45	64	0,9	3	192
17,6-17,9	17,75	28	1,2	4	112
17,9-18,2	18,05	10	1,5	5	50
18,2-18,5	18,35	3	1,8	6	18
18,5-18,8	18,65	1	2,1	7	7
Разом		1000		10

_

х = (10/1000) * 0,3 + 16,55 = 16,553 тис. од.