Парадокс достижимости в натуральном ряде

Натуральный ряд N – это множество, определяемое системой аксиом Пеано, см. п.1.1. § 1. Элемент x Î N будем называть достижимым, если этот элемент х = S (... S (S (1))) получен конечным числом операций последования S из первого элемента “1”.

Вопрос: всякий ли элемент x Î N достижим? Для ответа воспользуемся аксиомой 5 “Математической индукции” аксиоматики Пеано (см. п.1.1. §1). Пусть М – множество всех достижимых элементов: 1Î М, S (1) Î М; если xÎ М, то S (х)Î М. Следовательно, по аксиоме 5, заключаем, что М º N, т.е. все элементы натурального ряда достижимы.

С другой стороны, как мы знаем (п.1.1. § 1), линейная цепь

Т = 1, 2,..., n,...;..., а _–2, а _–1, а ₀, а ₁, а ₂,...;...,

является моделью натурального ряда (все аксиомы Пеано выполняются). В этой модели второй и следующие за ним блоки имеют вид

..., а _–2, а _–1, а ₀, а ₁, а ₂,...

и содержат недостижимые элементы. Получили противоречие с тем, что все элементы достижимы.

Покажем, что свойство достижимости (назовем его аксиомой Д) не зависит от аксиом Пеано, следовательно, не является логически выводимым в теории этой аксиоматики.

Пусть П = { П ₁,..., П ₅} – аксиоматика Пеано (п.1.1, §1).

Модель Сколема Т реализует систему аксиом П и отрицание аксиомы Д: Т = R ₁{ П,ù Д }. Модель десятичного систематического представления N натурального ряда реализует аксиомы П и Д: N = R ₂(П, Д). Следовательно, согласно достаточным условиям независимости системы аксиом (п.7.3., §7) заключаем, что аксиома Д не зависит от П.

Вывод

В теории аксиом Пеано свойство достижимости не доказуемо и не опровержимо, подобно тому, как в абсолютной планиметрии не доказуема и не опровержима аксиома параллельности.

8.8. “Одно и то же, но по–разному”

– именно так характеризуется аксиоматическая теория, имеющая две неизоморфные модели. Напомним, п.7.4 §7, что такие аксиоматики, аксиоматические теории и структуры называются некатегоричными, и рассмотрим примеры.

Вначале напомним, что система 15 аксиом (часть аксиом Гильберта) определяет геометрию e² плоскости Евклида. Если заменить аксиому параллельности Евклида на аксиому параллельности Лобачевского, то получим систему 15 аксиом планиметрии Лобачевского с моделью Пуанкаре L _2. Напомним также, что обе эти геометрии образуют дедуктивно полные и категоричные аксиоматические теории. Теперь сформулируем пример.