Пример 1. Пусть система аксиом Т состоит из 14 аксиом аксиоматики Гильберта, определяющих абсолютную геометрию плоскости (геометрию без аксиомы параллельности)

Пусть система аксиом Т состоит из 14 аксиом аксиоматики Гильберта, определяющих абсолютную геометрию плоскости (геометрию без аксиомы параллельности). Мы имеем две реализации этой планиметрии:

арифметическая модель R ² (евклидовой плоскости);

модель Пуанкаре L ₂ (плоскости Лобачевского). Можно установить взаимно однозначное соответствие между точками М R ² и точками N L ₂, а также между прямыми l R ² и прямыми a L ₂. В то же время не всем отношениям между точками и прямыми в L ₂ можно найти соответствующие отношения в R ². Например, отношение Ð(a ₁, a ₂) прямые a ₁ и a ₂ не параллельны и не пересекаются может выполняться в L ₂ и не имеет аналога в R ². (Другие неевклидовы отношения между точками и прямыми на плоскости L ₂ см. в п. 5.2 §5).