Замечание 4

То, что через точку А вне прямой “ a ” можно провести хотя бы одну прямую “ b ”, не пересекающуюся с “ a ”, а Ç b =Æ, мог доказать еще Евклид.

Действительно, опустим перпендикуляр АВ на прямую “ a ”. Затем восстановим в точке А перпендикуляр “ b ” к прямой АВ (рис. 3.).

Если существует пересечение прямых “ a ” и “ b ” в точке Р, то в треугольнике АВР имеем прямой угол В равный внешнему прямому же углу при вершине А. Это противоречит теореме о внешнем угле треугольника (доказанной на основании I–III групп аксиом!). Следовательно, “ b ”Ç” а ”=Æ.

Итак, одна прямая, проходящая через точку и не пересекающая заданную прямую, существует. Но другую, отличную от этой, прямую никто построить не мог. Это породило иллюзию, что аксиома параллельности (V постулат в «началах» Евклида) может быть доказана. На протяжении почти двух тысяч лет геометры пытались вывести V постулат из остальных, рассуждая от противного. Лишь в XIX в. Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792–1856) удалось построить мыслимую непротиворечивую геометрию, основанную на отрицании V постулата. Историческую роль V постулата мы исследуем отдельно, познакомившись с требованиями, предъявляемыми к системе аксиом.