Висновки з перетворень Лоренца

На підставі перетворень Лоренца можна отримати ряд незвичайних з погляду нерелятивістської механіки висновків. Розглянемо основні з них.

3.1. Довжина тіл у різних інерціальних системах відліку.

Нехай стержень рухається разом із системою . Довжина його в цій системі (рис. 3.1). Відносно системи він рухається зі швидкістю . У системі його довжина , де x ₂ і x ₁ – координати точок осі з якими співпадають кінці стержня в один і той самий момент часу за годинником у системі . Використавши перше рівняння системи (2.10), знаходимо:

.

Довжина тіла в системі :

(3.1)

Якщо стержень нерухомий у системі , то його довжина у цій системі буде , а довжина в системі буде визначатися тією самою формулою (3.1). Таким чином, розміри тіла в напрямку його руху, розглянуті в системі відліку, відносно якої це тіло рухається зі швидкістю , зменшуються в разів.

На підставі системи (2.9) отримуємо, що , . Це означає, що розміри тіла у напрямку, перпендикулярному напрямку руху, не залежать від швидкості його руху й однакові у всіх інерціальних системах відліку. Зазначене тут скорочення було передбачено ще в 1892 р. Фітцджеральдом і, незалежно від нього, Лоренцом. Тому його називають лоренцовим (або фітцджеральдовим).

При розгляді лоренцового скорочення варто чітко уявляти, що ніякого реального скорочення розмірів тіла внаслідок його руху відбуватися не може. Це випливає з принципу рівноправності всіх інерціальних систем відліку, покладеного в основу спеціальної теорії відносності. Уявне «скорочення» розмірів тіла – це наслідок різних умов виміру довжини в різних системах відліку. Спотворення зорового сприйняття рухомих предметів зумовлено різними проміжками часу, впродовж яких світло надходить до очей від різних точок предмета.

3.2. Тривалість процесів у різних інерціальних системах відліку.

Розглянемо певний процес, котрий протікає в одній і тій самій точці, нерухомій відносно системи (наприклад, точка з координатою на рис. 3.1.) Тривалість цього процесу за годинниками систем та відповідно дорівнює різницям миттєвостей початку і кінця процесу:

, .

На підставі системи (2.9) маємо:

(оскільки ). Звідси:

. (3.2)

Таким чином, тривалість процесу, котрий відбувається в певній точці простору, мінімальна в тій системі відліку, відносно якої ця точка нерухома. – це проміжок часу, визначений за годинником, котрий рухається з тілом. Його називають власним часом цього тіла. Цей результат можна сформулювати так: годинники, котрі рухаються відносно інерціальної системи відліку, йдуть повільніше нерухомих годинників.

Релятивістський ефект уповільнення плину часу підтверджується дослідами з мюонами – нестабільними елементарними частинками. Вони народжуються в космічному випромінювані на висоті 20-30 км над поверхнею Землі. Власний час їх існування (виміряний у системі, відносно якої вони нерухомі) . Шлях, який вони начебто могли б пролетіти, мав би бути . Однак їх поява спостерігається і на поверхні Землі, де вони не народжуються. Враховуючи, що їх шлях ; l<S. Досягнення мюонами поверхні Землі цілком ймовірне.

Подібно лоренцовому скороченню, релятивістський ефект часу зумовлений різними умовами порівняння часу, а один і той самий годинник у всіх інерціальних системах відліку має однакові властивості, тобто однаковий хід.

3.3. Одночасність подій у різних інерціальних системах відліку.

Нехай у системі в точках з координатами та в один і той самий момент часу () відбуваються дві події. Згідно з першою та четвертою формулами системи (2.10) в системі цим точкам відповідають координати:

,

і моменти часу

, .

З цих співвідношень видно, що при виконуються рівності і . Якщо , то, незважаючи на рівність , отримуємо, що і , тобто якщо в системі К дві одночасні події суміщені в просторі, то в системі ці події суміщені і в просторі і в часі. Якщо в системі К дві одночасні події не суміщені в просторі, то в системі вони не суміщені ні в просторі, ні в часі. В системі розбіжність подій у часі залежить від швидкості , тобто в різних інерціальних системах відліку буде різною. Знак різниці залежить від значень координат та . Це означає, що в одних системах відліку подія 1 буде передувати події 2, в інших системах відліку, навпаки, подія 2 буде передувати події 1. Це можливо лише для подій, між якими немає причинно-наслідкового зв’язку, наприклад, постріл з лука і потрапляння стріли в мішень.

4. Інтервал між двома подіями

У загальному випадку дві події в обраній системі відліку відбуваються в різних точках і в різні моменти часу. Це означає, що кожній події відповідають чотири просторово-часові координати x, y, z, t, на яких можна побудувати уявний чотиривимірний простір. У цьому просторі точку з координатами x, y, z, t називають світовою точкою. Будь-якій частинці в чотиривимірному просторі відповідає так звана світова лінія. Так, для нерухомої точки світова лінія має вигляд прямої лінії, паралельної до осі t (рис 4.1).

Нехай події 1 в системі відповідає світова точка з координатами , , , , а в події 2 – точка з координатами , , , . Величину

. (4.1)

називають інтервалом між цими подіями. У формулі (4.1) величина – відстань між подіями, а .

Рівняння (4.1) перепишемо в вигляді

. (4.2)

Для тих самих подій в системі можна записати:

. (4.3)

На підставі системи рівнянь (2.10) знаходимо, що

; ; ; . (4.4)

Із цих співвідношень видно, що окремо взяті просторові і окремо взяті часові складові інтервалу між двома подіями в різних інерціальних системах відліку не інваріантні щодо перетворень Лоренца. Підстановка значень (4.4) в (4.3) призводить до рівності:

. (4.5)

Рівність (4.5) свідчить про інваріантність інтервалу щодо перетворень Лоренца.

Нехай подія 1 полягає у випромінюванні світлового сигналу в світовій точці з координатами , , , , а подія 2 – у прийомі цього сигналу в світовій точці з координатами , , , . Тоді і . Такий інтервал називають нульовим або світлоподібним. Світлоподібними інтервалами пов’язані між собою події, що полягають у послідовному проходженні світлової хвилі через різні точки простору. Для цих подій характерним є причинно-наслідковий зв’язок. Оскільки рівність можлива при і , а рівність можлива при і , то очевидно, що збіг подій, пов’язаних між собою світлоподібним інтервалом, є абсолютним.

Події, для яких , не можуть бути причинно зв’язаними, тому що швидкість будь-яких взаємодій не може бути більшою від швидкості світла c. При інтервал – уявний. Уявні інтервали називають просторовоподібними. Події, розділені такими інтервалами, ні в якій системі не можуть бути суміщеними в просторі, але для них можна підібрати таку систему , в якій вони можуть бути суміщені в часі. Продемонструємо це. На підставі рівняння (4.1) знаходимо: , а на підставі рівняння (4.5) знаходимо: якщо , то й . Для уявного інтервалу можна підібрати таку систему відліку , в якій . Тоді в цій системі . Аналогічно, при інтервал . Якщо прийняти , або , то за цих умов інтервал буде не уявним, а світлоподібним. Відповідно до рівняння уявний інтервал називають просторовоподібним.

Знайдемо умови суміщення в часі подій, зв’язаних уявним інтервалом. Якщо , то . Скориставшись рівнянням системи (2.10), знаходимо, що . Умова суміщення названих подій у часі забезпечується виконанням рівняння:

. (4.6)

Події, для яких , можуть бути причинно зв’язаними. Для них інтервал , тобто дійсний. Дійсні інтервали називають часово–подібними (або часоподібними). На підставі рівнянь (4.1) та (4.5) виявляємо, що за інтервал буде дійсним. При , згідно з системою рівнянь (2.10), , тобто можна підібрати таку систему відліку , в якій події, пов’язані дійсним інтервалом, будуть суміщені в просторі.

Умова суміщення таких подій в просторі забезпечується виконанням рівняння:

, (4.7)

що знаходимо аналогічно попередньому – рівняння (4.6). Якщо прийняти, що , то інтервал не буде часоподібним. Це означає, що події, пов’язані між собою дійсним інтервалом, не можуть відбуватись одночасно. Із (4.1) та (4.5) випливає, що дійсний інтервал між двома подіями, суміщеними в просторі в системі , зводиться до часового інтервалу. Тому дійсні інтервали називають часоподібними.

Уявимо геометрично взаємне роз-ташування подій, пов’язаних вище згада- Рис. 4.1 ними інтервалами. Оберемо світову точку О за початок відліку координат і часу розглянутих подій. На рис.4.1 показані лише осі х і t обраного чотиривимірного простору.

Рух частинки зі швидкістю c в тривимірному просторі зображується прямими . Ці прямі відповідають подіям, пов’язаним між собою світлоподібним інтервалом. Оскільки швидкість руху частинок не може бути більшою від швидкості c, то світові лінії всіх частинок, котрі, рухаючись, проходять через світову точку О, будуть лежати в межах не заштрихованого конуса, який називають світловим конусом, тому що його твірні лінії є лініями світлових сигналів. Для будь-якої світової точки А в області “абсолютне майбутнє” і світової точки В в області „абсолютне минуле” інтервали між подіями О та А і подіями В та О є часоподібними, причому подія В передує події О, а подія О передує події А.

Кожна з подій С чи Д в областях “абсолютне віддалення” пов’язана з подією О просторовоподібними інтервалами. Тут події О і С, О і Д в різних інерціальних системах відліку можуть мінятися місцями.

Повернемося до поняття власного часу , як часу, відрахованого годинником, котрий рухається разом з тілом. На підставі рівняння (3.2) маємо:

.

Шляхом незначних перетворень отримаємо:

, (4.8)

де – шлях, який проходить тіло за проміжок часу .

Оскільки швидкість c світла у вакуумі та інтервал між подіями однакові у всіх інерціальних системах відліку, то на підставі (4.8) можна зробити висновок, що власний час також однаковий у всіх інерціальних системах відліку.

5. Перетворення і додавання швидкостей

Розглянемо рух матеріальної точки зі швидкістю у довільному напрямку (рис. 1.1). Складові швидкості цієї точки уздовж координатних осей x, y, z в системі дорівнюють:

; ; . (5.1)

Скориставшись перетвореннями Лоренца (2.9), отримаємо:

; ; . (5.2)

На підставі (5.1) та (5.2) після незначних математичних перетворень знаходимо:

; ; . (5.3)

Шляхом аналогічних математичних перетворень (котрі пропонуємо студентам провести самостійно) на підставі системи (2.10) можна отримати складові швидкості матеріальної точки уздовж координатних осей в системі :

; ; . (5.4)

Системи рівнянь (5.3) та (5.4) є умовами перетворень швидкостей при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої.

6. Релятивістське рівняння для маси та імпульсу

Рівняння ньютонівської механіки, інваріантні відносно перетворень Галілея, не інваріантні відносно перетворення Лоренца. Це зумовлено тим, що з погляду ньютонівської механіки інертність тіла, мірою якої при поступальному русі є маса, не залежить від швидкості руху тіла. Такий підхід прийнятний лише за малих швидкостей руху тіл. За великих швидкостей маса тіла залежить від швидкості руху. Аналітичну форму цієї залежності можна отримати шляхом таких міркувань.

Математична форма другого закону Ньютона в нерелятивістській механіці має вигляд:

, (6.1)

де – трикомпонентний вектор сили, котра діє на тіло; – імпульс тіла; – так звана маса спокою, яка не залежить від швидкості руху, тобто інваріантна маса тіла; – час, інваріантний відносно перетворень Галілея, але неінваріантний відносно перетворень Лоренца.

Для того, щоб рівняння (6.1) відповідало вимогам принципу відносності Ейнштейна, тобто мало однакову форму запису в усіх інерціальних системах відліку, в ньому необхідно час замінити власним часом , який є інваріантним щодо перетворень Лоренца. Тоді на підставі (6.1), врахувавши (3.2), знаходимо, що

, (6.2)

де

, (6.3)

і є релятивістське рівняння для маси, котре характеризує кількісну залежність маси тіла від швидкості його руху.

Аналогічну залежність отримав Ейнштейн шляхом більш строгих і поглиблених міркувань.

Якщо в рівняннях ньютонівської механіки масу замінити масою m згідно з (6.3), то вони стануть однаковими в усіх інерціальних системах відліку і за великих швидкостей руху.

Так, релятивістське рівняння для імпульсу матиме форму:

. (6.4)

7. Релятивістське рівняння для енергії. Взаємозв’язок маси та енергії

Відповідно до закону збереження енергії виконана над системою робота викликає кількісно рівну їй зміну енергії dW системи:

(7.1)

Враховуючи (6.1) та (6.2), отримаємо:

. (7.2)

Проінтегрувавши (7.2), знаходимо

, (7.3)

(усі математичні перетворення пропонуємо студентам виконати самостійно).

Ейнштейн довів, що рівняння (7.3) буде інваріантним щодо перетворень Лоренца за умови, якщо стала інтегрування дорівнює нулю. Таким чином релятивістське рівняння для енергії набирає вигляду:

. (7.4)

Енергія спокою (коли = 0):

. (7.5)

Це внутрішня енергія тіла. Вона не містить його потенціальну енергію у зовнішніх потенціальних полях.

Кінетичну енергію (енергію руху) тіла знайдемо як різницю між повною енергією та енергією спокою:

. (7.6)

При <<c можна прийняти, що , і релятивістська формула кінетичної енергії переходить у нерелятивістську .

Виключивши з рівняння (6.4) (у скалярній формі) та (7.4) швидкість, знайдемо зв'язок між енергією та імпульсом тіла:

. (7.7)

На підставі тих самих рівнянь (6.4) та (7.4) отримуємо:

. (7.8)

Співставивши формули (3.2) та (7.4), виразимо енергію тіла через власний час :

. (7.9)

З рівняння (7.4) випливає, що енергія тіла та його релятивістська маса завжди пропорційні одна одній. Будь-яка зміна енергії тіла (за винятком зміни потенціальної енергії у зовнішньому силовому полі) викликає зміну маси і навпаки, будь-яка зміна релятивістської маси супроводжується зміною енергії тіла:

. (7.10)

Це твердження називають законом взаємозв’язку релятивістської маси та енергії. Підтвердження цього закону досить наочно спостерігається під час дослідження процесів розпаду важких ядер, синтезу легких ядер у більш важкі, взаємного перетворення елементарних частинок.