Основні теоретичні положення. Теоретичні дослідження перехідних процесів в лінійних нерозгалужених електричних колах з одним і двома неоднорідними електричними нагромаджувачами енергії

Теоретичні дослідження перехідних процесів в лінійних нерозгалужених електричних колах з одним і двома неоднорідними електричними нагромаджувачами енергії проводять на підставі аналізу розв’язку системи контурних рівнянь, які складено стосовно до перехідних напруг та струмів, а експериментальне дослідження цих процесів виконують за допомогою електронного генератора G періодичних прямокутних імпульсів напруги тривалістю t ₁, що перевищує час проходження перехідного процесу (рис. 7.1, а, б), і електронного осцилографа, на екрані якого можна спостерігати осцилограми перехідних напруги і струму за час t ₁, при вмиканні кола на постійну напругу U, а на протязі часу t ₂, коли ця напруга відсутня, аналогічні осцилограми при замиканні досліджуваного кола на резистор з опором R¢.

Періодична повторюваність перехідних процесів забезпечує нерухомість зображення кривих перехідних напруги і струму на екрані осцилографа, якщо їх частота кратна частоті коливань горизонтальної розгортки осцилографа.

Перехідні процеси при вмиканні лінійного електричного кола з індуктивною котушкою з параметрами R, L на прямокутний імпульс напруги U, тривалість якого (рис. 7.1, а, б), описують лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням першого порядку

,

розв’язком якого є перехідний струм

,

де є струм усталеного режиму,

- стала часу вітки з резистивним та індуктивним елементами.

Рис. 7.1. Перехідні процеси у лінійному електричному колі з індуктивною котушкою:

а - схема електричного кола; б - часова діаграма напруги генератора періодичних прямокутних імпульсів; в - графік зміни перехідних струмів у колі за часом.

Отже, вмикання індуктивної котушки з параметрами R, L на постійну напругу U зумовлює виникнення перехідного струму i ₁, що змінюється за експоненціальним законом, починаючи з нуля і асимптотично прямує до струму I, який відповідає усталеному режиму (рис. 7.1, в).

При вимиканні цього кола від постійної напруги U на протязі наступного проміжку часу (рис. 7.1, а), перехідний процес існує за рахунок енергії затухаючого магнітного поля індуктивної котушки і його описують лінійним однорідним диференціальним рівнянням першого порядку .

Розв’язуючи це рівняння, знаходимо перехідний струм контуру

,

де - стала часу контуру, що складається з досліджуваної вітви з параметрами R, L і резистора R ¢.

Цей струм затухає за експоненціальним законом і зникає практично за час (рис. 7.1, в).

Стали часу визначають як довжини піддотичних до відповідних графіків , або як абсциси відповідних ординат 0,63 І і 0,37 І (рис. 7.1, в).

Перехідні процеси при вмиканні лінійного електричного кола з конденсатором ємністю C, з’єднаний послідовно з резистором з опором R, на прямокутний імпульс напруги U (рис. 7.2, а, б) тривалістю , описують лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням першого порядку

,

розв’язком якого є перехідна напруга на затискачах конденсатора:

Перехідний струм у цьому колі буде

,

де - стала часу вітки з резистивним R та ємнісним C елементами;

- найбільший перехідний струм, що виникає в момент вмикання досліджуваної вітки з параметрами R, C на напругу U, коли t = 0.

Рис. 7.2. Перехідні процеси у лінійному електричному колі з конденсатором:

а – схема електричного кола; б – часова діаграма напруги генератора періодичних прямокутних імпульсів; в – графік зміни перехідних напруг на затискачах конденсатора за часом; г – графік зміни перехідних струмів у колі за часом при зарядженні і розрядженні конденсатора.

Отже, перехідна напруга на затискачах конденсатора змінюється за експоненціальним законом від нуля і асимптотично наближується до усталеної напруги U (рис. 7.2, в), а перехідний струм, у момент вмикання вмить набувши найбільшого значення І ₁, спадає за експоненціальним законом і прямує до нуля (рис. 7.2, г).

При вимиканні цього кола від постійної напруги U (рис. 7.2, а, б) протягом наступного проміжку часу перехідний процес існує за рахунок енергії електричного поля зарядженого конденсатора і його описують лінійним однорідним диференціальним рівнянням першого порядку

Розв’язуючи це рівняння, знаходимо перехідну напругу на затискачах конденсатора

,

а також перехідний струм контуру

,

де – стала часу контуру, що складається з досліджува­ної­ вітки з параметрами R, C і резистора з опором R ¢.

Отже, перехідні процеси при розрядженні зарядженого конденсатора на резистор, які ілюструють осцилограмами , мають затухаючий характер, внаслідок чого вони зникають, коли час (рис. 7.2, в, г).

Перехідний процес при вмиканні електричного кола з резистивним, індуктивним і ємнісним елементами, що характеризують параметрами R, L, C (рис. 7.3, а, б), на прямокутний імпульс напруги U описують лінійним диференціальним рівнянням другого порядку

,

характеристичне рівняння якого має вигляд

.

Якщо справджена нерівність , то обидва корені характеристичного рівняння

є дійсні числа і перехідний струм досліджуваного електричного кола

,

а перехідна напруга на затискачах конденсатора

.

З цих рівнянь виходить, що протягом перехідного процесу весь час перехідні струм і ₁ та напруга зберігають незмінний напрям, тобто перехідний процес є аперіодичним (рис. 7.3, в). При цьому перехідний струм і ₁ спочатку поступово зростає від нуля до найбільшого , що відповідає моменту часу t ₁, а потім прямує до нуля. Щодо перехідної напруги на затискачах конденсатора, то вона монотонно зростає від нуля до напруги U, причому точка перегину кривої відповідає моменту часу t ₁.

При перехідний процес залишається ще аперіодичним і цей опір R називають критичним.

Коли існує нерівність , то корені характеристичного рівняння є спряжені комплексні числа і перехідний струм є

,

а перехідна напруга на затискачах конденсатора буде

,

Рис. 7.3. Перехідні процеси у лінійному електричному колі з індуктивною котушкою і конденсатором:

а – схема електричного кола; б – часова діаграма напруги генератора періодичних прямокутних імпульсів; в – графіки зміни перехідних струмів і перехідних напруг на затискачах конденсатора за часом при аперіодичних процесах; д – те саме при коливальних процесах.

При цьому виникає затухаючий коливальний перехідний процес з кутовою частотою

,

де ; .

Осцилограми для випадку, коли , отже, частота коливань близька до частоти незатухаючих коливань (рис. 7.3, г, д), характерні тим, що найбільший перехідний струм

,

а найбільша напруга на затискачах конденсатора

.

Протягом проміжку часу досліджуване коло не живиться від генератора прямокутних імпульсів напруги і є замкнутим на резистор з опором R ¢, внаслідок чого перехідним процесам відповідає таке лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку:

.

Характер зміни перехідного струму і ₂ у колі і перехідної напруги на затискачах конденсатора за часом залежить від коренів характеристичного рівняння

і визначається співвідношенням параметрів , L, C.

Так, при перехідні електричні величини і ₂ та знаходять з формул

; ,

що відповідає аперіодичному розряду конденсатора (рис. 7.3, в, г). При ці величини визначають так

; ,

де ; ; ,

що відповідає коливальному розряду конденсатора (рис. 7.3, д).

Швидкість затухання коливань перехідного струму і ₂ визначають за допомогою декремента затухання

,

який дорівнює відношенню двох наступних амплітуд струму одного знака, де

є період затухаючих коливань перехідного струму і ₂.

Натуральний логарифм декремента коливань

називають логарифмічним декрементом коливань.