Інтерполювання за Ньютоном 3 страница

(5.41)

і прирівняти їх до нуля. В результаті одержується система з лінійних алгебричних рівнянь з невідомими , ,..., :

(5.42)

Система (5.42) називається нормальною системою для методу найменших квадратів. Визначником цієї системи є визначник Грама сукупності функцій :

(5.43)

Як відомо, якщо функції складають сукупність взаємонезалежних функцій (тобто ніяку з цих функцій неможливо подати як лінійну комбінацію решти з них), то визначник Грама цих функцій не дорівнює нулю. Це означає, що за базові функції при апроксимуванні потрібно обирати сукупності лінійно незалежних функцій. Тоді СЛАР (5.42) має єдиний розв'язок - значення коефіцієнтів , що забезпечують мінімум квадрата середньоквадратичного відхилення апроксимуючої та апроксимованої функцій.

Ортогональними на деякому інтервалі функціями називається сукупність таких функцій, що

.

Матриця Грама для ортогональних функцій є одиничною.

У випадку, коли за базові при апроксимуванні обрані ортогональні функції, обчислення коефіцієнтів апроксимації значно спрощується. У цьому випадку значення їх можна визначити співвідношенням

. (5.44)

Тому при апроксимуванні бажано обирати за базові системи ортогональних функцій.

Класичними прикладами ортогональних функцій-поліномів є поліноми Якобі, Лежандра, Лагерра, Чебишева, Ерміта. Наприклад, поліноми Лежандра є ортогональними на відрізку і мають вигляд:

; ; ; ;

; .

Поліноми Чебишева першого роду є ортогональними також на інтервалі . Їх можна задати співвідношенням

; ,

а рекурентна формула їх визначення має такий вигляд:

; .

Наведемо приклади поліномів Чебишева першого роду:

; ; ;

; ;

; .

Поліноми Чебишева другого роду також ортогональні на тому самому інтервалі і мають такий вигляд:

; ; ;

; .

Поліноми Ерміта ортогональні на всій числовій осі і мають вигляд

; ; ;

; .

Наведені системи ортогональних поліномів стають у нагоді, коли за апроксимуючу функцію обирається поліном певного степеня, тобто для здійснення так званої поліноміальної апроксимації.

Прикладом системи неортогональних базових поліномів може бути така система:

; ;..., ;....

Вона часто використовується на практиці. Тоді - многочлен степеня . В цьому разі до розв’язку пропонується система вигляду

При отриманий многочлен збігається з інтерполяційним многочленом Лагранжа.

Приклад. Найпростіша емпірична формула .

Про придатність цієї формули можна робити висновки за величинами . Якщо , то формула підходить. Невідомі коефіцієнти знайдемо з необхідної умови екстремуму функції

.

У результаті одержимо систему лінійних рівнянь

Розв’язуючи систему,знаходимо a і b, що при заданому вигляді рівняння регресії забезпечують мінімум (a,b).

a = ; b =

При цьому, природно, у результаті апроксимування певної сукупності даних в усіх випадках одержується однаковий поліном. Різниця полягає лише у зручності, простоті отримання коефіцієнтів цього полінома.

Якщо при поліноміальній апроксимації кількість базових функцій-поліномів дорівнює 2, тобто , апроксимація називається лінійною. В результаті лінійного апроксимування одержують так звану лінію регресії (пряму). При апроксимування називають квадратичним, а при -кубічним.

Звичайно, апроксимування не обов'язково має бути поліноміальним. Наприклад, якщо відомо, що вимірювана функція є періодичною з відомим періодом , де - кругова частота, то за базові функції зручно використовувати таку сукупність:

; ; ;...,

; ;...,

тобто використовувати апроксимацію у вигляді ряду Фур'є. Тут є цілим додатним числом, яке дорівнює номеру гармоніки у розкладі Фур'є.

Наведена сукупність функцій є ортогональною на інтервалі, кратному періодові . Тому застосування її є вельми ефективним (потребує мінімуму обчислень), якщо інтервал вимірювання обрати кратним періодові.

Опис результатів спостережень методом найменших квадратів ускладнюється, якщо невідомі коефіцієнти в рівняння регресії входять нелінійно. Однак у багатьох випадках задачу вдається спростити, застосовуючи деякі прості перетворення вихідного рівняння регресії.

Приклад. У ряді випадків до лінійної залежності можуть бути зведені експериментальні дані, коли їхній графік у декартовій системі координат не є пряма. Цього можна досягти шляхом уведення нових змінних , які вибираються так, щоб точки лежали на прямій. Таке перетворення називається вирівнюванням даних. Наприклад, рівняння регресії має вигляд х=ce . Прологарифмуємо функцію lnх=lnc+kt. Позначимо lnx=z, lnc=a. В результаті одержуємо лінійне рівняння z=a+kt. Методом найменших квадратів знаходимо значення а і k (див. приклад вище), після чого визначимо так само c=e

Вибір вигляду регресійної залежності можна здійснити за таблицею. Для цього за вихідними даними обчислюють середні значення х_ср та у_ср

, , ,

.

Величина обчислюється в такий спосіб:

1) якщо збігається з одним із вихідних , то ;

2) якщо знаходиться між і , то знаходимо як ординату відповідної точки на відрізку прямої, що з'єднує вузли і , за формулою

.

Вибір рівняння регресії здійснюється шляхом пошуку мінімального значення виразу і відповідної йому функції, використовуючи таблицю.

Таблиця 5.1 Вибір залежності

N	.				Вигляд функції
	t(ар)	x(ар)			x=а0+a1*t
	t(га)	x(ар)			x=а0+а1 /t
	t(ге)	x(ар)			x=a0+a1 lg t
	t(ар)	x(ге)			x=a0*a1t
	t(ге)	x(ге)			x=a0*ta1
	t(га)	x(ге)			x=exp(a0+a1 /t)
	t(ар)	x(га)			x=1/(a0+a1*t)
	t(ге)	x(га)			x=1/(a0+a1 lg t)
	t(га)	x(га)			x=t/(a0+a1*t)

Таблицею доречно користуватися, якщо значення нашої функції носять монотонний характер.

Приклад. Функція y=f(x) задана таблицею значень у точках . Використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайти многочлен найкращого середньоквадратичного наближення оптимального степеня m=m*. За оптимальне значення m* прийняти той степінь многочлена, починаючи з якого стабілізується або починає зростати.

Порядок розв’зання задачі:

1 Задати вектори x та y вихідних даних.

2 Використовуючи функцію mnk, знайти многочлени Pm, m=0,1,2,..., за методом найменших квадратів. Обчислити відповідні їм значення .

3 Побудувати гістограму залежності від m, на підставі якої вибрати оптимальний степінь m* многочлена найкращого середньоквадратичного наближення.

4 На одному кресленні побудувати графіки многочленів Pm, m=0,1,2,..., m* і точковий графік вихідної функції.

Вектори вихідних даних:

Функція mnk, що будує многочлен степеня m за методом найменших квадратів, повертає вектор a коефіцієнтів многочлена:

- формуються вектор правих частин та матриця нормальної системи Гa=b методу найменших квадратів (базисні функції - 1, x, ,х²...,х^m);

- lsolve(Г,b) – вбудована функція MATHCAD, що розв’язує систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

Вхідні параметри:

x, y - вектори вихідних даних; n+1 - розмірність x,y.

Обчислення коефіцієнтів многочленів степеня 0,1,2,3 за методом найменших квадратів:

Функція P повертає значення многочлена степеня m у точці t; многочлен задається за допомогою вектора коефіцієнтів a:

Функція повертає значення середньоквадратичного відхилення многочлена P(a,m,t):

Обчислення значень ,m=0,1,2,3:

Гістограма

Висновок: оптимальний степінь m*=2; многочлен найкращого середньоквадратичного наближення: P2(x)=-1.102+1.598x+0.717

Графіки многочленів степеня 0,1,2 і точковий графік вихідної функції:

Приклад реалізації методу найменших квадратів на псевдокоді.

Нехай за допомогою зазначеного вище методу ми знайшли вигляд рівняння регресії

, отже .

Значення невідомих коефіцієнтів

.

Очевидно, що процедура, яка знайде розв’язки, буде простішою, якщо ми домовимося, що функції, що обчислюють відповідні суми, нами вже реалізовані:

//обчислення коефіцієнтів регресійної формули.

//X,Y – задані в умові масиви; a1,a0 – шукані коефіцієнти

//n – кількість заданих пар x,y в умові

Metod_Kvadr(n,X,Y,a1,a0):

1 a1:=(yixi(X,Y,n)-1/N)*yi(Y,n)*yi_na_1(X,n))/(yi_na_1_kw(X,n)-(1/n)*pow(yi_na_1(X,n),2));

2 a0:=(1./n)*(yi(Y,n)-a1*yi_na_1(X,n));

End

Питання і завдання до розділу 5

1 Постановка задач наближення функцій.

2 Метод найменших квадратів. Виведення нормальної системи методу найменших квадратів.

3 Обумовленість нормальної системи.

4 Вибір оптимального степеня апроксимуючого многочлена.

5 Поліноміальна інтерполяція. Многочлен у формі Лагранжа.

6 Многочлен у формі Ньютона.

7 Похибка інтерполяції.

8 Глобальна інтерполяція. Кусочно-поліноміальна інтерполяція. Вибір вузлів інтерполяції.

9 Інтерполяція із кратними вузлами.

10 Мінімізація оцінки похибки інтерполяції.

11 Інтерполяція сплайнами. Визначення сплайна. Лінійний сплайн.

12 Побудова кубічного сплайна.

13 Види граничних умов при побудові сплайнів.

14 обудова параболічного сплайна.

15 нтерполяція функції двох змінних.

16 Вивести нормальну систему методу найменших квадратів для визначення коефіцієнтів функції:
a) ; b) .

17 Використовуючи метод найменших квадратів, апроксимувати на відрізку функцію многочленом першого степеня. Обчислити величину середньоквадратичного відхилення.

18 Побудувати інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа й у формі Ньютона для функції , заданої таблицею значень.

a)	x	-1			b)	x
	y					y

19 Обчислити , знаючи значення та .

20 Побудувати кусково-лінійну інтерполяцію функції за вузлами –1, 0, 1.

21 Функція наближається на відрізку інтерполяційним многочленом за значеннями в точках . Оцінити похибку інтерполяції на цьому відрізку.

22 З яким постійним кроком h потрібно скласти таблицю функції на відрізку , щоб похибка лінійної інтерполяції не перевищувала ?

23 Для таблично заданих функцій

a)	x	-1				b)	x
	y						y

побудувати лінійний і параболічний сплайни.

24 Функція y=y(x) задана таблицею своїх значень:

x	-1
y	1.8	2.4	2.2

Побудувати многочлени нульового й першого степенів, що наближають функцію за методом найменших квадратів. Обчислити величину середньоквадратичного відхилення. Побудувати на одному кресленні точковий графік функції й графіки многочленів.

25 Побудувати інтерполяційні многочлени у формі Лагранжа й Ньютона, що наближають функцію y=y(x), задану таблицею своїх значень. Порівняти результати.

x
y

26 Функція у=y(x) задана таблицею своїх значень:

x		0.2	0.4	0.6	0.8
y	0.75	1.1	1.35	1.25	1.05	0.8

Запропонувати способи інтерполяції для знаходження значень функції в точках x =0.24,0.5, 0.96.

27 Відновити многочлен за його значеннями:

28 Функція задана таблицею своїх значень:

Обчислити наближено значення функції в точці за допомогою інтерполяційного многочлена другого ступеня: а) у формі Лагранжа; б) у формі Ньютона (зі скінченними різницями). Оцінити похибку інтерполяції.

29 Функція задана таблицею своїх значень:

	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4
	0.302	0.458	0.629	0.811	1.002

Обчислити приблизно значення функції в точці за допомогою інтерполяційного многочлена у формі Ньютона (з розділеними різницями). Обчислити похибку інтерполяції.

30 Функція задана таблицею своїх значень: