Теоретична частина. Локальная теорема Лапласа

Локальная теорема Лапласа. Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалеж­них експериментів є величиною сталою і дорівнює , то для великих значень n і к імовірність того, що випадкова подія А настане m раз, подається такою асимптотичною формулою

де

Є таблиці, в яких поміщені значення функції (додаток 1)

відповідні додатним значенням аргументу х. Для від'ємних значень аргументу користуються тими ж таблицями, так як функція φ(х) парна, тобто:

φ (–х)=ф(х).

Отже, ймовірність того, що подія А з'явиться в n незалежних випробуваннях рівно k разів, наближено дорівнює:

функція Гаусса.

Приклад 1. Фабрика випускає 75% виробів 1-го сорту. Із партії готових виробів навмання беруть 400 деталей. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) виробів 1-го сорту виявиться 290 шт.;

2) 300 шт.;

3) 320 шт.

Розв’язок. За умовою задачі маємо:

n = 400; p = 0,75; q = 0,25; m = 290; 300; 320.

1) ; ;

;

;

2) ;

;

3) ;

.

Приклад 2. Імовірність того, що посіяне зерно ячменю проросте в лабораторних умовах, у середньому дорівнює 0,9. Було посіяно 700 зернин ячменю в лабораторних умовах. Визначити найімовірніше число зернин, що проростуть із цієї кількості зернин, та обчислити ймовірність цього числа.

Розв’язок. За умовою задачі:

Отже, шукане число m ₀ = 630.

Відповідна ймовірність буде така:

;

;

;

.