Решение. Так как N<100, а относительный объём выборки велик (n/N=0,4), то используем гипергеометрическое распределение (12.21)

Так как N <100, а относительный объём выборки велик (n/N =0,4), то используем гипергеометрическое распределение (12.21).

1. Число дефектных изделий при 10% дефектных изделий в партии: D₀=Nq₀ =50*0,1=5; при 20% дефектных изделий D₁=Nq₁ =50*0,2=10.

2. Определяем числа А ₀ и А _1. Для этого по формулам (12.21) накапливаем вероятности P до тех пор, пока накопленные вероятности не приблизятся к 1-α=P(d≤A₀) и к β=P(d<A₁-1).

Имеем: P(d≤A₀)=1-α=1-0,1=0,90; Величины сочетаний (биномиальные коэффициенты) определяем по таблице П. 7.10 [22]. Далее получаем:

;

;

;

;

P(d≤3)=0,067+0,258+0,364+0,234=0,923.

Полученная величина близка к 1-α=0,90, т.е. фактический риск поставщика близок к принятому: . Поэтому A₀=3. Аналогичным образом рассчитываем поправочное число A ₁:

;

;

;

P(d≤2)=0,003+0,028+0,096=0,127.

Следовательно с риском , близким к первоначальному установленному β =0,1 при d ₁=2 дефектных изделий в выборке партию можно принять, а при d ₁=3 – браковать (β=P(d₁≤A₁-1), A₁=d₁+1=2+1=3).

В данном случае А₀=А₁=3. Это означает, что одиночный контроль не может производится одновременно в интересах поставщика и заказчика. Защита интересов потребителя может привести к требованию браковочного числа, меньшего, чем приёмочное число при контроле в интересах поставщика. Обоюдно малый риск при браковочном числе, на единицу превышающем приёмочное, может быть получен в том случае, когда D ₁ существенно больше D ₀.

Пример № 2.

Контролю надёжности подлежит партия N=200 изделий. Определить приёмочное А ₀ и браковочное А ₁ числа дефектных изделий в выборке их n =40 изделий. Партия считается хорошей, если в ней содержится 5% и плохой – если 10% дефектных изделий. Риск поставщика α =0,20; риск заказчика β =0,1.

Решение.

Учитывая относительно большой объём контролируемой партии и небольшие значения доли дефектных изделий. Целесообразно производить решение, исходя из f-биномиального распределения, в соответствии с формулами (12.22)

1. Рассчитываем величины f, D0, D1:

f=n/N=40/200=0,2; D₀=Nq₀=10; D₁=Nq₁=20;

2. Определяем числа A ₀ и А ₁ суммированием вероятностей f -биномиального распределения до величин, близких к α и β.

Имеем: P(d≤A₀)=1-α=1-0,2=0,8;

Вычисляем вероятности P(d) и суммируем их:

;

;

;

;

P(d≤2)=0,107+0,268+0,320=0,695;

P(d≤3)=0,107+0,268+0,320+0,202=0,897.

Таким образом можно принять приёмочное число А ₀=2 с риском поставщика или А₀= 3 с риском поставщика . Если требуется фактический риск приблизить к заданному, то это можно сделать при постоянных объеме партии и доле дефектных изделий в ней, варьируя объёмами выборки и приёмочными числами. Аналогичным образом рассчитываем браковочное число А₁:

;

;

;

P(d≤1)=0,01+0,058=0,068;

P(d≤2)=0,01+0,058+0,137=0,202.

Таким образом, целесообразно считать браковочным числом А ₁=2, тогда риск заказчика будет более близким к установленному.