Методы определения показателей надежности на основе методов стохастической индикации

Всё оказанное выше позволяет подойти к методам определения функций распределения индикаторов и при условии независимости случайных величин и . Для решения этой задачи сформулированы теоремы о функциях распределения стохастических индикаторов [11,12].

Теорема Т1. Если функции распределения и независимых случайных величин и известны, то

(7.20)

Доказательство. C учетом (7.13) введём обозначения:

Тогда, поскольку функция неубывающая, то

что и требовалось доказать.

Теорема Т2. Если дополнительные функции распределения и случайных величин и известны, то

(7.21)

Доказательство. C учетом (7.14) введём обозначения:

Тогда, поскольку функция невозрастающая[1], то

что и требовалось доказать.

Пример 1. Пусть случайные величины и обе подчинены показательным законам распределения с параметрами и соответственно:

, (7.22)

.

Тогда согласно Т1 (7.20) имеем

(7.23)

(7.24)

откуда

, (7.25)

(7.26)

Из (7.24) может быть получено гарантированное значение вероятности безотказной работы объекта, откуда следует

,

откуда следует

. (7.27)

Формула (7.26) представляет собой математическое ожидание вероятности безотказной работы объекта. Тогда математическое ожидание вероятности отказа объекта составит

(7.28)

Полученное на основе методов теории стохастической индикации выражение (7.28) для вероятности безотказной работы совпадает с её выражением (см. таблицу 3.1), полученным известными методами [2-5,16,18].

Пример 2. Пусть случайные величины и распределены нормально и имеют соответственно числовые характеристики и то есть

(7.29)

(7.30)

где (.) – нормированная по функция нормального распределения (табличная функция) [2,5,18,19,22].

Тогда согласно теореме Т1 (7.20) и соотношениям (7.29), (7.30)

(7.31)

где

откуда

(7.32)

. (7.33)

Однако в большинстве случаев вычисление показателей а также соответственно показателей в аналитической форме затруднительно и не всегда возможно. В этом случае для вычисления данных показателей предлагается графоаналитический метод, представленный на рис.7.3.