Свойства. -Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу

-Ограниченность.

-Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.

-Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.

-Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.

-Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон.

-Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом.

-Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.

8. Принцип математической индукции.

в математике — один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку. Тогда, если мы толкнём первую косточку, то все косточки в ряду упадут.

Формулировка: Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами:.

Пусть имеется семейство утверждений . Пусть известно, что:

1.(база индукции) справедливо;

2.(индукционный переход) из справедливости вытекает справедливость .

Тогда все утверждения справедливы.

9. Число е.