Системы одновременных уравнений

Структурная форма системы одновременных уравнений:

Уравнения, входящие в структурную форму системы одновременных уравнений, называются структурными уравнениями. Коэффициенты уравнений структурной формы называются структурными коэффициентами.

Поведенческие уравнения - это уравнения, которые характеризуют все типы взаимодействия между эндогенными и экзогенными переменными.

Тождества - это равенства, которые выполняются во всех случаях.

Приведенная форма системы одновременных уравнений:

Коэффициенты приведенной формы системы одновременных уравнений называются приведёнными коэффициентами. Их можно оценить традиционным методом наименьших квадратов. На основе оцененных приведённых коэффициентов рассчитываются оценки структурных коэффициентов.

Проблема идентификации - это проблема численной оценки структурных коэффициентов по оценкам приведённых коэффициентов.

Исходная система одновременных уравнений является идентифицированной, если все её уравнения точно идентифицированы. Уравнение является точно идентифицированным, если по оценкам приведённых коэффициентов можно однозначно найти оценки структурных коэффициентов.

Исходная система одновременных уравнений является сверхидентифицированной, если среди уравнений модели есть хотя бы одно сверхидентифицированное. Уравнение является сверхидентифицированным, если по оценкам приведенных коэффициентов можно получить более одного значения для структурных коэффициентов.

Исходная система одновременных уравнений является неидентифицированной, если среди уравнений модели есть хотя бы одно неидентифицированное. Уравнение является неидентифицированным, если по оценкам приведённых коэффициентов невозможно рассчитать оценки структурных коэффициентов.

Проблема идентификации - это проблема численной оценки структурных коэффициентов по оценкам приведённых коэффициентов.

Условия идентификации модели применяются только к структурной форме системы одновременных уравнений.

Структурная форма системы одновременных уравнений:

Введем следующие обозначения:

N -.количество предопределенных переменных в системе уравнений; n - количество предопределенных переменных в уравнении, проверяемом на идентифицируемость; М - количество эндогенных переменных в системе уравнений;

m - количество эндогенных переменных в уравнении, проверяемом на идентифицируемость; К - матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, проверяемое на идентифицируемость.

Первое необходимое условие идентифицируемости уравнения модели: уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается идентифицируемым, если оно исключает хотя бы N - 1 предопределённую переменную системы:

(N - n) + (М - m) ≥ N - 1.

Второе необходимое условие идентифицируемости уравнения модели: уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается идентифицируемым, если количество предопределённых переменных, не входящих в данное уравнение, будет не меньше числа эндогенных переменных этого уравнения минус единица:

N – n ≥ m – 1.

Ранг матрицы – это размер наибольшей её квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю.

На основе перечисленных условий идентификации можно сформулировать необходимые условия идентифицируемости уравнения структурной формы системы одновременных уравнений:

1) если М – m > n – 1 и ранг матрицы K равен (N-1), то уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается сверхидентифицированным;

2) если М – m = n – 1 и ранг матрицы К равен (N-1), то уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается точно идентифицированным;

3) если М – m ≥ n – 1 и ранг матрицы К меньше (N-1), то уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается неидентифицированным;

4) если М – m < n – 1, то уравненив структурной формы системы одновременных уравнений считается неидентифицированным, так как ранг матрицы К будет меньше (N-1).

Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).

В системах одновременных уравнений каждое уравнение не может рассматриваться как самостоятельная часть системы, поэтому применение традиционного метода наименьших квадратов для определения неизвестных коэффициентов таких уравнений невозможно из-за нарушения условий применения метода наименьших квадратов.

Проблемы, возникающие при применении традиционного метода наименьших квадратов к оценке неизвестных коэффициентов системы одновременных уравнений:

1) проблема одновременной зависимости между эндогенными переменными системы одновременных уравнений. Например, в первом уравнении системы переменная у ₁ - это функция от переменной у ₂, а во втором уравнении системы переменная у ₂- это функция от переменной у ₁;

2) проблема мультиколлинеарности, т.е. во втором уравнении системы переменная у ₂ зависит от х₁, а в других уравнениях системы обе переменные выступают а качестве факторных переменных;

3) проблема коррелированности случайных ошибок уравнения с результативными переменными.

Поэтому применение традиционного метода наименьших квадратов к оцениванию неизвестных коэффициентов системы одновременных уравнений в результате даёт смещенные и несостоятельные оценки.

Для нахождения оценок неизвестных коэффициентов системы одновременных уравнений применяется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК). Оценки, полученные косвенным методом наименьших квадратов, удовлетворяют свойствам эффективности, несмещённости и состоятельности.

Основное условие применения косвенного метода наименьших квадратов заключается в том, что структурная форма системы одновременных уравнений должна быть точно идентифицированной.

Алгоритм косвенного метода наименьших квадратов включает в себя следующие этапы.

1. На основе структурной формы системы одновременных уравнений составляется её приведённая форма, в которой все приведенные коэффициенты выражены через структурные коэффициенты.

2. Неизвестные коэффициенты каждого уравнения приведённой формы системы одновременных уравнений оцениваются традиционным методом наименьших квадратов.

3. На основе полученных оценок приведённых коэффициентов рассчитываются оценки структурных коэффициентов через уравнения приведённой формы системы одновременных уравнений.

Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается сверхидентифицированным, если:

1) M – m > n – 1;

2) ранг матрицы К равен (N - 1), где N - количество предопределенных переменных в системе уравнений; n - количество предопределенных переменных в уравнении, проверяемом на идентифицируемость; М - количество эндогенных переменных в системе уравнений; m – количество эндогенных переменных в уравнении, проверяемом на идентифицируемость; К - матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, проверяемое на идентифицируемость.

Если уравнение сверхидентифицировано, то оценки его коэффициентов нельзя определить ни традиционным методом наименьших квадратов, ни косвенным методом наименьших квадратов.

Для определения оценок неизвестных коэффициентов сверхидентифицированного уравнения применяется двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Алгоритм двухшагового метода наименьших квадратов реализуется в четыре этапа.

1. На основе структурной формы системы одновременных уравнений составляется её приведённая форма, в которой все приведённые коэффициенты выражены через структурные коэффициенты.

2. Неизвестные коэффициенты каждого уравнения приведенной формы системы одновременных уравнений оцениваются традиционным методом наименьших квадратов.

3. Рассчитываются значения тех эндогенных переменных, которые выступают в качестве факторных переменных в сверхидентифицированном уравнении.

4. С помощью традиционного метода наименьших квадратов определяются все структурные коэффициенты уравнений системы через предопределённые переменные, входящие в это уравнение в качестве факторов, и значения эндогенных переменных, полученных на предыдущем шаге.

Данный метод наименьших квадратов называется двухшаговым, потому что метод наименьших квадратов используется дважды: первый раз для определения оценок эндогенных переменных приведённой формы системы одновременных уравнений и второй раз для определения оценок структурных коэффициентов уравнений системы.

Сверхидентифицированная структурная форма системы одновременных уравнений может быть двух видов:

1) в систему, помимо сверхидентифицированного уравнения также входят точно идентифицированные уравнения. В этом случае оценки структурных коэффициентов точно идентифицированного уравнения определяются на основании приведённой формы системы одновременных уравнений;

2) все уравнения модели являются сверхидентифицированными. В этом случае оценки структурных коэффициентов системы определяются с помощью двухшагового метода наименьших квадратов.