Проверка правдоподобия гипотезы о виде закона распределения

Пусть заданное статистическое распределение аппроксимировано некоторой теоретической кривой или . Между нею и статистическим распределением всегда есть определенные расхождения. Эти расхождения являются следствием либо ограниченного числа наблюдений, либо неудачным выбором вида теоретической кривой. Для оценки согласованности теоретического и статистического распределений служат так называемые критерии согласия.

Идея применения критериев согласия заключается в следующем.

Пусть известен эмпирический закон статистического распределения случайной величины . Этот закон задан либо в виде функции , либо в виде функции . Необходимо проверить гипотезу , состоящую в том, что случайная величина подчиняется некоторому теоретическому закону распределения. Этот закон может быть задан в виде функции распределения или в виде функции плотности распределения .

Для определенности в качестве гипотезы примем факт, что случайная величина имеет теоретическое распределение .

Для того чтобы подтвердить или опровергнуть гипотезу , введем некоторую положительную величину , характеризующую степень расхождения теории – и эксперимента – . Выбирать можно по-разному, но очевидно, что – случайная величина. Закон ее распределения зависит от закона распределения случайной величины – и от числа опытов .

Предположим, что закон распределения известен. В результате серии опытов выяснилось, что мера расхождения приняла некоторое значение u. Очевидно чем меньше величина, тем вероятнее гипотеза и наоборот. Поэтому количественной оценкой правдоподобия гипотезы может служить вероятность события .

Ø Если эта вероятность мала – , то гипотезу следует отвергнуть как мало правдоподобную (в этом случае вероятность события велика и расхождение u слишком велико).

Ø Если эта вероятность – , следует признать, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе (в этом случае вероятность события мала и расхождение u достаточно мало).

Ø Если же эта вероятность значительна – , следует признать, что экспериментальные данные очень сильно согласуются с гипотезой и следует проверить, нет ли подтасовки данных.