Теоремы о числовых характеристиках случайных величин

Теорема 1. Математическое ожидание неслучайной величины равно самой этой величине.

Доказательство: Пусть – неслучайная величина. Тогда формула для ее математического ожидания имеет вид

, (1.16.1)

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Неслучайный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

Доказательство: Пусть – неслучайный множитель, – случайная величина. Тогда

, (1.16.2)

что и требовалось доказать.

Теорема 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Доказательство: Пусть – случайные величины. Тогда

, (1.16.3)

что и требовалось доказать.

Теорема 4. Математическое ожидание от линейной комбинации случайных величин выражается соотношением

(1.16.4)

Доказательство: Автоматически следует их теорем 2, 3.

Теорема 5. Дисперсия неслучайной величины равна нулю.

Доказательство: Пусть – неслучайная величина. Тогда формула для ее дисперсии имеет вид

, (1.16.5)

что и требовалось доказать.

Теорема 6. При вынесении неслучайного множителя за знак дисперсии, его следует возвести в квадрат.

Доказательство: Пусть – неслучайный множитель, – случайная величина. Тогда

, (1.16.6)

что и требовалось доказать.

Следствие: Для среднеквадратичного отклонения имеет место формула

(1.16.7)

Теорема 7. Дисперсия суммы двух случайных величин выражается формулой

(1.16.8)

Доказательство: Пусть – случайные величины. Тогда с учетом формулы (13.9) имеем

, (1.16.9)

что и требовалось доказать.

Замечание: Величина

(1.16.10)

называется корреляционным моментом случайных величин .

Теорема 8. Дисперсия от линейной комбинации случайных величин выражается соотношением

(1.16.11)

Доказательство: Автоматически следует их теорем 6, 7.