Уравнение Бернулли для идеальных жидкостей. Для вывода уравнения Бернулли необходимо преобразовать и проинтегрировать дифференциальные уравнения движения Эйлера

Для вывода уравнения Бернулли необходимо преобразовать и проинтегрировать дифференциальные уравнения движения Эйлера, чтобы перейти от элементарного объёма ко всему объёму жидкости.

Сначала разделим обе части уравнений системы на ρ, получим:

- (δр/δх)·dx = d(w_x²/2),

- (δр/δу)·dy = d(w_y²/2),

- (ρg + (δр/δz))·dz = d(w_z²/2),

Сложим уравнения системы друг с другом (левые части с левыми, правые с правыми), получим:

- ((δр/δх)·dx + (δр/δу)·dy + (δр/δz)·dz) – gdz = d(w_x²/2) + d(w_y²/2) + d(w_z²/2),

Как видно, в скобках в левой части уравнения представлен полный дифференциал р по dр. Тогда:

- ·dp – gdz = d(w²/2),

+ gdz + d(w²/2) = 0, (разделим обе части уравнения на g)

+ dz + d(w²/2g) = 0,

при постоянной температуре gp=const:

d(p/ρg)+ dz + d(w²/2g) = 0,

Проинтегрируем:

∫d(p/ρg+ z + w²/2g) =∫ 0

z + p/ρg+ w²/2g = const - уравнение Бернулли

z – нивелирный напор

p/ρg – пьезометрический напор

z + p/ρg - полный гидростатический напор

w²/2g – динамический (скоростной напор), выражает удельную кинетическую энергию движения жидкости.

z + p/ρg+ w²/2g – полный гидродинамический напор, обозначим Н.

Для двух произвольных сечений жидкости можно записать:

z₁ + p₁/ρg+ w ₁²/2g = z₂ + p₂/ρg+ w ₂²/2g,

то есть для любого сечения или точки потока при установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной (z + p/ρg) и кинетической (w²/2g) энергий жидкости остаётся величиной постоянной. Таким образом, уравнение Бернулли выражает частный случай закона сохранения энергии.