Лекция 14. Быстрые схемы дискретного преобразования Фурье

Обычные формулы для вычисления ДПФ требуют большого количества умножений: , где - число точек в ДПФ. Существуют приемы, позволяющие уменьшить это количество. Они называются быстрыми схемами (БПФ). Простейшая относится к случаю .

Случай

Любое число в интервале однозначно представляется двоичным вектором длины . Если последовательность задана, то положим

. В дальнейшем, что упростить изложение, введем обозначение , откуда . Имеем

. Основное замечание заключается в следующем: суммирование по индексу равносильно суммированию по всем двоичным индексам .

, каждый из которых принимает два значения.

Для числа существует аналогичное двоичное представление: . Рассмотрим самую внутреннюю сумму. . Нетрудно видеть, что это некоторая функция . Следующая сумма принимает вид . Этот процесс продолжается. Окончательно имеем . Количество сумм равняется , в каждой из которых лишь одно умножение. Для вычисления всех коэффициентов нужно умножений. Другое преимущество этой схемы - экономный расход оперативной памяти.