Разложение сигналов в обобщенный ряд Фурье

Среди различных математических приемов, используемых при исследовании электрических цепей и сигналов наиболее широко применяется представление произвольной функции х (t) в виде суммы простых (элементарных) функций Ψ_К(t), так называемых базисными:

(2.1)

где α_к – коэффициенты разложения. Представление (2.1) называют обобщенным рядом Фурье.

Такой подход лежит в основе принципа наложения (суперпозиции) при изучении линейных электрических цепей. Выбор системы базисных функций Ψ_k (t) зависит от вида сигнала и решаемой задачи.

Спектральное представление периодических колебаний (сигналов). При формировании и обработке сигналов часто приходится иметь дело с периодическими колебаниями сложной формы. Периодическую функцию х (t) = х (t + nT), Т – период можно представить разложением в обобщенный ряд Фурье по базисным функциям:

(2.2)

(2.3)

Представление (2.2) называют просто рядом Фурье. Ряд (2.2) можно записать в виде:

(2.4)

Согласно формуле (2.4) периодическую функцию х (t) можно представить суммой гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте ω₁=2π/Т, с амплитудами А_k и начальными фазами Ψ_k. Совокупность амплитуд А_k образует линейчатый амплитудный спектр сигнала (рис. 2.1, а), а совокупность начальных фаз Ψ_k - фазовый спектр сигнала (рис. 2.1, б).

Ряд Фурье часто представляют в комплексной форме:

(2.5)

где С _k - комплексная амплитуда k-той гармоники, определяется по формуле:

(2.6)

Комплексное представление ряда Фурье оказывается удобным при выполнении различных расчетов.

Спектральное представление непериодических сигналов. Разложение в тригонометрический ряд Фурье (2.5) может быть обобщено на случай непериодических сигналов х (t) путем устремления Т→∞ или f = (1/T) → 0.

а - амплитудный спектр б - фазовый спектрПри таком предельном переходе

Рис. 2.1. Спектральное представление периодического сигнала частота ω₁=2π∕Т стремится к нулю, бес-

конечно увеличивается число спектральных составляющих и дискретный линейчатый спектр переходит в сплошной. Для определения этого спектра наиболее удобна комплексная форма ряда Фурье (2.5), но в нем вместо суммы будет интеграл с бесконечными пределами. Тогда формулы (2.5) и (2.6) надо записать в виде:

(2.7)

где (2.8)

Формулы (2.7) и (2.8) называются соответственно обратным и прямым преобразованиями Фурье (пара преобразований Фурье). Они показывают фундаментальную связь между непериодическим сигналом х (t) и его спектральной плотностью F (ω). Модуль F (ω) определяет сплошной амплитудный спектр непериодического сигнала, а аргумент Ψ(ω) – сплошной фазовый спектр, т. е. F (ω)= F(ω)е^-jΨ(ω). Cтрого говоря, спектральная плотность (2.8) существует для функций х (t), удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости, т. е.

- имеет конечное значение.

Свойства комплексной спектральной плотности приведены в [2, с. 34, табл. 2.2]. Значения спектральной плотности для большинства используемых в настоящее время сигналов приведены в математических справочниках и специальной литературе по теории сигналов и цепей, а также в [1, с. 43, табл. 2.1].