Второго порядка 3 страница

Латинскому квадрату можно сопоставить план эксперимента, в котором строки соответствуют различным значениям одного фактора, столбцы – значениям другого, а латинские буквы – значениям третьего фактора, т.е. латинский квадрат позволяет исследовать влияние не более чем трех факторов. Пример представления латинского квадрата для факторов L, P, Z, каждый из которых варьируется на четырех уровнях (n = 4) приведен в табл. 6.3.

Таблица 6.3

Применение плана, построенного на основе латинского квадрата, позволяет оценить дифференциальный (разностный) эффект пар уровней, но не дает информации о взаимодействии между факторами (иначе говоря, факторы не зависят друг от друга). Так, сумма результатов экспериментов, соответствующих столбцу j, будет оценивать эффект P_j, усредненный по всем L и Z. Тогда дифференциальный эффект увеличения значения фактора P от уровня 1 до уровня 2, усредненный по всем L и Z, можно оценить по разности между суммой значений функции отклика столбца 2 и столбца 1. Порядок перечисления уровней факторов роли не играет.

В условиях применения латинского квадрата все факторы должны варьироваться на одинаковом количестве уровней. Можно ослабить это требование путем приравнивания какого-либо уровня другому.

Приведенный пример является одним из возможных расположений уровней факторов, позволяющих получить несмещенные оценки главных эффектов. Латинские квадраты можно накладывать друг на друга, образуя греко-латинские квадраты. Например, два латинских квадрата 3´3 можно преобразовать в греко-латинский квадрат.

Здесь латинские буквы образуют один латинский квадрат, а греческие буквы – другой латинский квадрат. Каждая латинская буква встречается в паре с конкретной греческой буквой только один раз. С помощью греко-латинского квадрата можно оценить главные эффекты четырех 3-х уровневых факторов (фактора строк, фактора столбцов, римских букв и греческих букв) проведя только 9 опытов.

Если наложить друг на друга три различных варианта латинских квадратов, то получится план гипер-греко-латинского квадрата. С его помощью можно оценить главные эффекты пяти факторов (фактора строк, столбцов и трех расположений квадратов). В частности, для пяти трехуровневых факторов потребуется провести только 9 опытов вместо 243 опытов при переборе всех возможных сочетаний факторов.

Гипер-греко-латинский квадрат используется, когда число качественных факторов равно трем. Это тоже квадратная матрица, каждый элемент которой состоит из греческой буквы, латинской буквы и цифры. Основным признаком является то, что каждая комбинация во всей матрице встречается один раз.

Итак, планы латинских (греко-латинских) квадратов используются в тех случаях, когда требуется оценить влияние факторов, варьируемых более чем на двух уровнях и заранее известно, что между факторами нет взаимодействий или этим взаимодействиями можно пренебречь. Имеются таблицы латинских и греко-латинских квадратов различных размеров, за исключением одного практически важного случая – не существует греко-латинского квадрата для 6 уровней факторов.

Планы для экспериментирования в условиях дрейфа

Блочные планы, ортогональные к дискретному дрейфу, пред­ставляют собой обычные планы типа ПМА, сбалансированные так, чтобы часть столбцов плана использовалась для оценки эффектов дискретного дрейфа независимо от эффектов исследуемых факто­ров.

Планы, ортогональные к непрерывному дрейфу, могут быть построены на основе таблиц полиномов Чебышева. Они исполь­зуются для изучения линейных эффектов управляемых коли­чественных факторов независимо от полиномиального дрейфа любого порядка. В случае необходимости оценки также и взаимо­действий управляемых факторов используют обычные планы 2*, отбирая те столбцы планов, которые имеют минимальные корреля­ции с эффектами дрейфа. К этим же планам относятся планы Кокса, предназначенные для изучения одной количественной или качественной переменной, варьируемой на двух, трех, четырех уровнях в условиях дрейфа второго и третьего порядков.

Комбинированные планы для совместного изучения коли­чественных и качественных переменных в условиях непрерывного полиномиального дрейфа получают соответствующим комбини­рованием планов Чебышева и планов Кокса.

Планы для экспериментирования в условиях дрейфа исполь­зуются для исключения влияния неоднородностей типа дискрет­ного и непрерывного дрейфа на исследуемые эффекты и оценки этого влияния независимо от эффектов варьируемых факторов и составляют основу группы планов ковариационного анализа.

Факторный эксперимент при изучении смесевых систем

Введение. Задача факторного эксперимента при изу­чении смесевых систем не отличается от задачи фактор­ного эксперимента второго порядка, изложенной в 1.6. Однако при изучении свойств смесей, зависящих только от соотношений компонентов, желательно учитывать условие

, (2.1)

где x_i – относительные концентрации компонента (х_i 0); п – количество компонентов (n 2).

Условие (2.1) не позволяет использовать планы ПФЭ и модели типа (1.97) – матрица (Х^ТХ)^-1 оказывается вырожденной.

Шеффе ввел каноническую форму полинома степе­ни п:

. (2.2)

где

; .

Наиболее часто пользуются следующими приведен­ными (каноническими) полиномами:

(2.3)

- полином второго порядка для трехкомпонентной смеси;

(2.4)

- полином неполного третьего порядка для трехкомпо­нентной смеси;

(2.6)

– полином четвертого порядка для трехкомпонентной смеси.

Пояснение. От стандартного полинома, например, вто­рого порядка

(2.7)

к полиному Шеффе (2.3) переходят путем несложных преобразований условия

в условия

;

;

; (2.8)

;

и подстановкой (2.8) в (2.7). Получают

(2.9)

.

Симплекс-решетчатые планы Шеффе. Известно, что геометрическое место точек, удовлетворяющее условию (2.1), представляет собой п-1 правильный симплекс. Тогда факторное пространство может быть представ­лено симплексами с такой же системой координат. Пла­нирование на симплексах осуществляется равномер­ным разбросом экспериментальных точек. Получаются {п, m} – решетки, где п – число компонентов смеси; т – порядок полинома. Примеры {3, т} – решеток с при­нятыми обозначениями выходной переменной приведены на рис. 2.1.

Симплекс-решетчатые планы частично композицион­ные. Неполную кубическую решетку {3, 3*} (рис. 2.1, б) можно получить из {3,2} (см. рис. 2.1,а) добавлением одной точки в центре симплекса; решетку {3, 4} (см. рис. 2.1, г) – добавлением точек к решетке {3, 2} (см. рис. 2.1, а).

2.1.1. Алгоритм симплекс-решетчатых планов второ­го порядка для трехкомпонентной смеси. Исходные дан­ные. Имеется трехкомпонентная смесь. Необходимо по­лучить зависимость некоторого свойства у от состава смеси в виде (2.3) и проверить ее адекватность.

План эксперимента для рассматриваемого случая приведен в табл. 2.1.

В каждой точке решетки проводится одинаковое чис­ло (т) параллельных опытов.

Расчет коэффициентов уравнения. Расчет коэффици­ентов возможен методом наименьших квадратов по урав­нению .

Рис. 2.1 {3, т} – симплексные решетки для полинома порядка:

а – второго; б – неполного третьего; в – третьего; г – четвертого.

Таблица 2.1 План эксперимента

Номер опыта	План	Выходная переменная
					…
	0,5 0,5	0,5 0,5	0,5 0,5			... … … … … …

Однако, учитывая, что план эксперимента насыщен (число неизвестных коэффициентов равно числу урав­нений), несложными преобразованиями можно получить следующие расчетные уравнения:

, , или ; (2.10)

, например, . (2.11)

Проверка адекватности уравнения. Учитывая, что план эксперимента насыщенный, проверка адекватности по критерию Фишера (см. (1.92) – (1.96)) невозможна. Для проверки адекватности необходимо, выбрать не­сколько дополнительных точек плана, провести в них эксперимент и изучить разность между эксперименталь­ным значением и полученным по уравнению. Эти точки выбирают либо в интересующей исследователя области, либо в точках, которые можно использовать для построе­ния полинома более высокого порядка. Для получения дисперсии адекватности можно применять уравнение остаточной суммы

; , (2.12)

где у_эи – экспериментальные значения выходной переменной в дополнительных проверочных точках; – значения выходной переменной для условий Х_э провероч­ных точек, полученных по уравнению; g – число прове­рочных точек; – дисперсия адекватности.

Если g >2, то адекватность можно проверять по кри­терию Фишера (см. (1.94), (1.95), а ошибку опыта при равном числе параллельных опытов т рассчитать по формулам (1.138) – (1.141) (условие однородности дисперсий также необходимо проверять).

Если адекватность уравнения оценивается по одной проверочной точке, то удобнее пользоваться уравнения­ми, приведенными ниже (их доказательство в [5]). Для оценки используется t -критерий:

, (2.13)

где m – число параллельных опытов в каждой точке симплекса; разность ∆у (между экспериментальным и теоретическим выходом)

; (2.14)

– среднеквадратичное отклонение опытных дан­ных; – величина, связанная с коэффициентами урав­нения

, (2.15)

причем

; .

Ошибка опыта определяется также по формулам (1.138) – (1.141).

Проверка адекватности производится по неравенству

t_P <f_Т (l, f₀, q = 0,05) (2.16)

для заданного уровня значимости; l – число коэффици­ентов уравнения регрессии; f₀ – число степеней свободы при определении ошибки опыта.

Примечание. В некоторых исследованиях, даже если число проверочных точек g>>2, оценку адекватности урав­нения регрессии проводят в каждой точке по формулам (2.13) – (2.16).

Принятие решений. Если условие (2.16) не выполняет­ся, то уравнение регрессии признается неадекватным и его порядок повышается. Если правило композиционности выполняется, то в план включают прове­рочную точку и переходят к расчетам коэффициентов уравнения более высокого порядка.

Если условие (2.16) выполняется, то обычно строят изолинии (линии равного выхода) соответствующего свойства непосредственно на симплексе. Графическое изображение зависимостей свойство – состав позволяет решать задачи интерполяции и оптимизации (конечно, если число компонентов в смеси не превышает четырех).

Примечание. Если исследуемая смесевая система неоднородна, то возникают значительные трудности ее математического описания (о методах преодолевания этих трудностей см. [5]).

2.1.2. Алгоритм симплекс-решетчатых планов непол­ного третьего порядка для трехкомпонентной смеси.

Исходные данные. Имеется трехкомпонентная смесь. Необходимо получить зависимость некоторого свойства от состава смеси в виде (2.4) и проверить ее адекватность.

План эксперимента для рассматриваемого случая представлен в табл. 2.2 (см. рис. 2.1,б). Как и ранее, предполагается, что параллельные опыты проводятся в каждой точке симплексной решетки.

Таблица 2.2. План эксперимента

Номер опыта	План	Выходная переменная
	0,5 0,5 0,333	0,5 0,5 0,333	0,5 0,5 0,333

Расчет коэффициентов уравнения для модели (2.4) удобно проводить

β₁, β ₂, β₃ – по формуле (2.10);

β₁₂, β ₁₃, β₂₃ – по формуле (2.11);

(2.17)

Оценка адекватности уравнения регрессии осуществляется по формулам (2.13), (2.15), (2.16), а коэффициент определяется по формуле

, (2.18)

где

;

; .

При наличии параллельных опытов в каждой точке симплексной решетки ошибка опыта определяется по формулам (1.138) – (1.141).

Принятие решений не отличается от предыдущего случая (2.1.2).

2. 1. 3. Алгоритм симплекс-решетчатых планов третье­го порядка для трехкомпонентной смеси. Исходные дан­ные. Имеется трехкомпонентная смесь. Необходимо получить зависимость некоторого свойства от состава сме­си в виде (2.5) и проверить ее адекватность.

План эксперимента для этого случая представлен в табл. 2.3 (см. рис. 2.1, в). Предполагается, что парал­лельные опыты проводятся в каждой точке симплексной решетки.

Таблица 2.3. План эксперимента

Номер опыта	План	Выходная переменная
	2/3 1/3 2/3 1/3 1/3	1/3 2/3 2/3 1/3 1/3	1/3 2/3 1/3 2/3 1/3

Коэффициенты регрессии β₁, β ₂, β₃ рассчитываются по формуле (2.10).

Коэффициенты β_ij рассчитываются по формулам

;

;

,

или в общем виде

. (2.19)

Коэффициенты рассчитываются по формулам

;

;

,

или в общем виде

. (2.20)

Коэффициенты рассчитываются по формулам

,

или в общем виде

. (2.21)

Оценка адекватности уравнения регрессии осуществ­ляется по формулам (2.13), (2.14), (2.16), а коэффици­ент определяется по формуле

, (2.22)

где

;

;

;

.

Ошибка опыта определяется также по формулам (1.138) –(1.141).

Принятие решений не отличается от предыдущих слу­чаев (см. 2.1.2.).

Примечание. Симплексную решетку при переходе к полиномам более высоких порядков можно достраивать точками из «последующих» планов.

. Насыщенный и сверхнасыщенный планы факторного эксперимента

Введение. Одной из целей использования математи­ческой модели является грубая оценка степени воздейст­вия факторов на выходную переменную объекта исследо­вания. Эта цель может быть достигнута различными ме­тодами но всех их объединяет условие минимизации числа экспериментов. Этот критерий привел к построению насыщенных и сверхнасыщенных планов экспериментов, позволяющих разделить всю совокупность факторов на два класса: доминирующие факторы и «шумовой» фон (несущественные факторы).

Определение. Ненасыщенность, насыщен­ность и сверхнасыщенность планов определя­ются соотношением числа опытов плана эксперимента N и числа определенных параметров l:

N-l >0 – ненасыщенный план;

N-l = 0 – насыщенный план;

N– l < 0 – сверхнасыщенный план.

Замечание. Рассмотренные ранее планы ПФЭ и ДФЭ были ненасыщенными, а симплекс-решетчатые планы – насыщенными.

2.2.1. Алгоритм насыщенного плана дробного фак­торного эксперимента. Исходные данные. Имеется сово­купность факторов, воздействующих на объект исследо­вания. Известно, что степень влияния этих факторов на выходную переменную различна. Предлагается выде­лить существенные факторы с помощью минимально воз­можного числа экспериментов.