Метод определения тождественности разделенных и неразделенных разностей

Если в результате эксперимента получены следующие пары значений , то разделенными разностями первого порядка называются величины

и неразделенными разностями первого порядка – величины

Неразделенные разности первого порядка используют, когда интервал варьирования факторов постоянный.

Сравнивают между собой неразделенные разности. Если разница между ними не превышает удвоенной величины среднеквадратической ошибки эксперимента, то можно считать их тождественными и принять для описания экспериментальных данных линейное уравнение.

Вид функции отклика (линейная, степенная, логарифмическая и т.д.) или математическую модель объекта исследования устанавливают, исходя из физических представлений о самом объекте или на основе опыта предыдущих исследований.

При отсутствии таких сведений функцию отклика представляют в виде полинома. В простейшем случае выбирают полином первого порядка

,

где d₀ и d₁ – коэффициенты регрессии; - среднее значение входного фактора.

Значение d₀ показывает, в какой точке линия регрессии пересекает ось ординат. Физический смысл коэффициента d₁ заключается в том, что он показывает, на какую величину изменяется переменная Y при изменении X на единицу.

Если закон случайных величин не является нормальным, то регрессионная математическая модель в общем случае будет линейной.

Для того чтобы решить данное уравнение, необходимо подобрать так коэффициенты регрессии d₀ и d₁, чтобы обеспечить минимум ошибки аппроксимации экспериментальных данных. Общепринятым при решении подобных задач является метод наименьших квадратов (МНК), разработанный К. Гауссом (1809 г.) и А. Марковым (1900 г.).

· Значения величин ошибок и факторов независимы, а значит, и некоррелированы;

· Математическое ожидание ошибки ε должно быть равно нулю (постоянная составляющая входит в коэффициент d₀), иначе говоря, ошибка является центрированной величиной;

· Выборочная оценка дисперсии ошибки должна быть минимальна.

Физический смысл данного метода заключается в том, что требование наилучшего согласования теоретической (выравнивающей, сглаживающей, аппроксимирующей) кривой и экспериментальных точек сводится к тому, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от теоретической кривой была минимальной, т.е.

По МНК параметры d_o и d₁ модели определяются из следующих уравнений:

Где X_i, Y_i – результаты эксперимента; - среднее значение функции.

После получения математической модели проверяют ее адекватность, т.е. соответствие реальному процессу, и значимость вычисленных коэффициентов регрессии. Если уравнение регрессии не адекватно, переходят к более сложной модели.