Глава V. Экономико-математические модели производственных процессов

Производственные функции. Основные характеристики и типы производственных функций

Каждая экономическая система выступает как преобразователь ресурсов в потребляемые обществом блага. Такое преобразование реализуется производственно-техническим комплексом экономической системы и определяет процесс производства. Примем следующие допущения. На ограниченном временном интервале будем считать экономическую систему стабильной, а технологию производства – неизменной. Производственные ресурсы будем характеризовать двумя показателями, отражающими количество овеществленного (прошлого) и живого труда – производственными фондами и численностью работников.

Обозначим через стоимость основных производственных фондов, – численность промышленно-производственного персонала, y – стоимость товарной продукции.

Соотношение

(14.1)

называемое производственной функцией, определяет ЭММ производственного процесса.

Отметим, что в роли экономической системы может выступить как отдельное предприятие, так и отрасль или национальная экономика в целом.

Важнейшими показателями производственного процесса являются показатели выпуска продукции, используемых ресурсов, характеристики технологии и организации производства, а также показатели эффективности, которые определяются путем сопоставления показателей объема, структуры и качества выпуска с аналогичными показателями ресурсов. Эти натуральные показатели выпуска и затрат ресурсов, а также показатели, получаемые из них с помощью простых арифметических операций с использованием норм и нормативов, составляют первую группу показателей производственного процесса.

Вторую группу составляют приростные и темповые показатели динамики производственного процесса, которые вычисляются на основе показателей первой группы. Например, абсолютный прирост выпуска продукции, прирост выпуска продукции на единицу основных фондов или на единицу прироста численности работников, темп роста производительности труда или фондоотдачи и др.

Третья группа включает показатели, которые определяются по показателям второй группы. Например, годовой прирост темпов роста производительности труда и т. п.

Характеристики производственной функции должны интерпретировать в определенной степени отмеченные экономические показатели исследуемой экономической системы.

Различают следующие три группы характеристик производственной функции.

I. Характеристики нулевого порядка:

; ; (14.2)

. (14.3)

Здесь – средняя фондоотдача; ее значение показывает объем выпускаемой продукции, приходящейся на единицу основных фондов;

– средняя производительность труда; ее значение показывает объем выпускаемой продукции, приходящейся на одного работника;

– средняя норма замещения ресурсов; значение определяет при данном значении объема выпуска среднее значение объема основных фондов, приходящихся на одного работника (фондовооруженность труда);

значение определяет при данном значении объема выпуска среднее число работников, приходящихся на одну единицу основных фондов (трудовооруженность фондов).

Отметим, что величина характеризует фондоемкость, а величина – трудоемкость продукции.

II. Характеристика первого порядка:

(14.4)

Она называется предельной производительностью i-го ресурса и приближенно показывает насколько изменится объем выпуска при изменении i -го ресурса на единицу.

Значение определяет предельную фондоотдачу, а значение – предельную производительность труда.

. (14.5)

Данная характеристика называется эластичностью выпуска по i-му ресурсу. Ее значение приближенно показывает, на сколько процентов изменится объем выпуска при изменении объема i -го ресурса на один процент.

. (14.6)

Эта характеристика называется предельной нормой замещения i-го ресурса j-ым ресурсом. Ее значение определяет, на сколько приблизительно нужно увеличить (уменьшить) использование j -го ресурса, чтобы скомпенсировать соответствующее изменение объема выпуска, вызванного уменьшением (увеличением) i -го ресурса на единицу.

. (14.7)

Данная характеристика называется эластичностью выпуска по масштабу производства. Ее значение показывает, на сколько процентов изменится индекс объема выпуска продукции

при изменении на один процент.

III. Характеристики второго порядка

Среди характеристик этой группы выделим эластичность замещения ресурсов, которая определяет относительные показатели замещения ресурсов:

, (14.8)

где

.

Основные типы производственных функций получают путем исследования изоквант: в производственной функции (14.1), полагая , находят зависимость . С этой целью вычислим значение из (14.8).

Имеем

, , .

Тогда

. (14.9)

Выражение (14.9) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, где в качестве параметра можно рассматривать эластичность замещения ресурсов , т.е.

. (14.10)

Рассматривают следующие случаи:

1Å . Решением дифференциального уравнения (14.10) будет функция

.

Это решение для фиксированного y и при постоянных значениях ресурсов (, ) можно интерпретировать так: производственный процесс задается пропорциями:

, ,

где и – нормы затрат соответствующих ресурсов.

Тогда объем выпуска будет определяться как

(14.11)

и будет лимитироваться тем значением y, для которого отношение (14.11) минимальное, т.е.

(14.12)

Функция (14.12) называется функцией Леонтьева.

2Å . Решением дифференциального уравнения (14.10) будет либо производственная функция типа Кобба-Дугласа

,

либо производственная функция с постоянной эластичностью типа

,

где А, , , , , – постоянные.