Авторы: Дулепов В.И., Лескова О.А., Майоров И.С. :Владивосток, 2004. 35 с.( в формате книги), в doc. 209 с. 5 страница

Иногда крупномасштабные проблемы оптимизации можно подразделить на ряд более мелких задач, образующих последовательность во времени или в пространстве, или наоборот. Подобные постановки задач часто позволяют упростить процедуру отыскания решения, при этом нужно специально проверять, дает ли последовательность оптимальных решений подзадач приближение оптимального решения полной проблемы. Такой поиск наилучшего решения на каждом этапе известен под названием «динамического программирования». Математический аппарат, использующийся в таких моделях, довольно сложен, и поэтому примеры их успешного применения в экологии весьма немногочисленны. В работе Уатта (1971) рассматривается применение динамического программирования для определения стратегий борьбы с вредителями. Шрайдер (1968) описывает модель, которая дает рекомендации по капиталовложениям в лесоводстве, от посадки деревьев до получения годовой продукции одной или нескольких первичных деревообрабатывающих отраслей.

3.9. Модели теории игр

С моделями математического программирования тесно связаны модели, которые основаны на теории игр. Простейшая из этих моделей – так называемая игра двух лиц с нулевой суммой. При этом имеется два множества интересов, одно из которых может представлять природу или какую-то другую внешнюю силу, а сама игра «замкнута» в том смысле, что все, что проигрывает один из игроков, выигрывает другой. Теорию можно распространить и на случай игры многих лиц с нулевой суммой, но этот случай выходит за рамки нашего обзора.

В той разновидности игры, с которой мы будем иметь дело, в центре анализа стоит простая матрица, показывающая, какие стратегии могут применять оба игрока и исходы возможных комбинаций этих стратегий. Пример такой матрицы приведен в табл. 3.2 из работы Вильямса (1960), которая дает возможные исходы игры с точки зрения человека, который не может вспомнить, является ли сегодняшний день днем рождения его жены! Он может применить две стратегии, а именно: либо купить цветы, либо прийти домой без цветов. У природы здесь тоже две стратегии, т.е. день рождения жены либо сегодня, либо в другой день.

Таблица 3.2

Матрица игры, указывающая стратегии и исходы для задачи
«Не сегодня ли день рождения жены?»

	Стратегия	Природа
		День рождения не сегодня	День рождения сегодня
Муж	Без цветов С цветами		-10 1,5

Числа в таблице показывают исход игры с точки зрения мужа для каждой комбинации стратегий двух игроков. В соответствии с ними, если муж приходит домой без цветов и день рождения жены не сегодня, исход игры для него нулевой – он ничего не выигрывает и ничего не проигрывает. Если же он приходит без цветов, а день рождения жены сегодня, муж проигрывает достаточно много (-10), т.к. он забыл нечто, о чем следовало бы хорошо помнить. Если муж приходит домой с цветами, но день рождения не сегодня, имеется весьма скромный выигрыш, ценность которого быть может слегка уменьшается из-за ощущения, что он сделал то, чего можно было бы и не делать. Если муж приходит домой с цветами и день рождения жены именно сегодня, то выигрышнесколько больше (1,5), т.к. муж вспомнил о том, чего в общем-то и не должен был забывать.

Можно сказать, что данная игра обладает той характерной особенностью, которая в теории игр называется «седловой точкой». Попросту говоря, когда наибольший из минимумов по строке совпадает с наименьшим из максимумов по столбцу, игра имеет седловую точку и игрокам всегда следует придерживаться той чистой стратегии, которая стоит на пересечении соответствующих строки и столбца. В данной игре мужу в любом случае следует прийти домой с цветами!

Поиск седловых точек является весьма важным моментом теории игр; вероятность того, что эти седловые точки будут существовать у случайно выбранной матрицы, велика для матриц высоких порядков. В тех же случаях, когда никакой седловой точки не существует, можно показать, что решение следует искать в смешанных стратегиях. Это означает, что должны применяться две или более стратегии и что вероятности, с какими данные стратегии применяются, могут быть вычислены по матрице игры. Каждый раз во время игры выбор стратегии должен осуществляться случайно, но с фиксированными вероятностями для существующих стратегий.

Уместно, конечно, спросить, почему мы рассматриваем природу как злостного противника, стремящегося минимизировать выигрыш партнера, будь то человек, животное или растение. И все же в ситуациях, когда у нас не хватает знаний о реакции живых организмов или внешней среды на выбор стратегий, которые будут давать наилучший результат хотя бы в среднем, стоит принять некую комбинацию стратегий, консервативную в том смысле, что она минимизирует ущерб, причиняемый при наихудших стратегиях, которые может применить природа.

Простой пример из области экологии, рассмотренный ниже, является измененным вариантом примера, приведенного также в книге Вильямса (1960), связанный со стратегией ловли рыб на удочку и характера их питания тремя видами пищи.

Представим себе, что существование некоего вида рыб, питающихся у поверхности воды, зависит главным образом от трех видов летающих насекомых. Эти виды обозначим через x₁,x₂ и x₃ – у поверхности воды представлены неодинаково, а с частотами соответственно 15п, 5n, n. Иными словами, насекомых x₂,в пять раз больше, чем x₃, а x₁ – в три раза больше, чем x₂.

Допустим, что кто-то ловит рыбу на один из этих трех видов насекомых, насаживая их на крючок. Тогда исходы игры с точки зрения рыбы для каждого из возможных сочетаний стратегий питания и применяемой наживки могут быть такими, как приведенные в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Матрица игры для стратегий ловли на удочку и питания

Стратегия	Рыболов использует в качестве наживки
	x1	x2	x3
x 1 Рыба питается x 2 x 3	-2	-6	-30

Можно показать, что данная матрица игры не имеет седловой точки, а как рыболову, так и рыбе следует применять одну и ту же смешанную стратегию ужения и питания – x₁: x₂: x₃ =15:5:1. При этом цена игры для рыбы оказывается отрицательной и равной –10/7, указывая на то, что в конце концов рыба будет поймана, но что оптимальная стратегия питания уменьшает вероятность поимки в каждом конкретном случае.

Если мы предположим теперь, что рыболов иногда использует приманку, которая может быть принята по ошибке за любое из трех насекомых, но которая вдвое чаще вызывает подозрение у рыбы, то матрица игры изменится так, как это показано в табл. 3.4. Новая матрица по-прежнему не имеет седловой точки, а оптимальная смешанная стратегия для рыбы выражается теперь пропорцией 3:1:0 – насекомые x₃ стали слишком опасны для жизни! Оптимальная смешанная стратегия рыболова выражается пропорцией 7:2:0:1, и ему тоже никогда не следует использовать x₃ в качестве наживки. Цена игры для рыбы теперь равна –30/20, что несколько меньше, чем в исходном варианте.

Таблица 3.4

Матрица игры для измененных стратегий ловли
на удочку и питания

Стратегия	Рыболов использует в качестве наживки
	x1	x2	x3	Приманка
x1 Рыба питается x 2 x3	-2	-6	-30	-1 -3 -15

Модели, основанные на теории игр, представляют собой интересный и пока еще мало изученный подход к решению стратегических задач. Разработка теории для более сложных игр с ненулевой суммой и игр многих лиц, где между игроками могут создаваться коалиции, представляет собой область исследований, заслуживающую особого внимания, в частности в экологических проектах, связанных с планированием и оценкой воздействия на окружающую среду.

3.10. Модели теории катастроф

Теория катастроф является весьма элегантным результатом применения топологии к системам, которые обладают четырьмя основными свойствами: бимодальностью, разрывностью, гистерезисом и дивергенцией. О бимодальности говорят, когда для системы характерно одно из двух (или более) состояний, а свойство разрывности предполагает, что между этими двумя состояниями оказывается сравнительно мало индивидов или наблюдений. Хороший пример как бимодальности, так и разрывности дает характерное деление организмов на самцов и самок. Наличие случайных организмов неопределенного пола не создает серьезных препятствий для распознавания этих двух состояний, а теория предполагает такой разрыв между состояниями, что любой индивид может без труда быть отнесен лишь к одной из категорий. О разрывности говорят и тогда, когда малые изменения какой-либо переменной, в том числе времени, вызывают большие изменения в поведении или состоянии. Гистерезис проявляется в том, что система обладает четко выраженной замедленной реакцией на некое воздействие, причем эта реакция идет по одному пути, когда воздействие возрастает, и по другому, когда оно убывает.

Труднее описать свойство дивергенции, характерной особенностью которого является то, что близкие начальные условия эволюционируют к значительно удаленным друг от друга конечным состояниям. В приложениях таких моделей к динамике популяций, например, начальные условия чуть выше или чуть ниже вполне определенных порогов, часто расходятся к принципиально разным конечным состояниям.

Простейший тип катастрофы иллюстрируется рис. 3.4, на котором изображена катастрофа, именуемая складкой. Предполагается, что система сначала находится в точке А на нижней ветви складчатого многообразия. С ростом переменной р переменная х тоже возрастает, так что система переходит через точку В и достигает точки С. В данной точке переменная р пересекает особенность S₁, и система совершает «катастрофический» скачок на верхнюю ветвь многообразия в точку C’. Дальнейшее возрастание переменной р уводит систему далее за точку D.

Если же переменная р начинает теперь убывать, то система продолжает следовать вдоль верхней ветви многообразия через точку Е к точке F. В этой точке переменная р пересекает особенность S₂, и система совершает «катастрофический» возврат на нижнюю ветвь многообразия в точку F’, после чего дальнейшие изменения переменной р ведут систему либо к точке А, либо к точке В до тех пор, пока она вновь не пересечет особенность S₁.

Рис. 3.4. Изображение катастрофы «складка»

Простая катастрофа «складка» довольно хорошо иллюстрирует свойство бимодальности, представленное двумя ветвями складчатого многообразия, и свойство разрывности, представленное резкими скачками с одной ветви на другую, в особенностях S₁ и S₂. Гистерезис иллюстрируется тем, что траектория системы при уменьшении р после пересечения особенности отличается от траектории, по которой движется система при увеличении р. Следует пожалуй отметить, что конкретная форма функции, связывающей х и р на многообразии, не важна – лишь бы в проекциях х на р сохранялась особенность типа складки. Простейшая из эквивалентных функций, представляющих катастрофу «складка», задается многочленом третьей степени:

f(x,p)= -(x³-x+p) (3.22)

Более сложный тип катастроф – сборка – изображен на рис. 3.5. Допустим, что данная система описывается переменной х, которая зависит от двух переменных p и q. Благодаря наличию складки на поверхности, изображающей эту зависимость, поведение системы варьирует в соответствии со значениями p и q.

Например, при изменении р от точки Р ₁ к Р₂ система движется из точки А, пока не встретится с особенностью и не совершит «катастрофический» скачок на нижнюю часть поверхности, вдоль которой будет продолжать двигаться к точке В. С другой стороны, при движении системы от С к D то же самое изменение значений р не встречается с особенностью. Происходит или нет встреча с особенностью, зависит от относительных значений р и q.

Рис. 3.5. Изображение катастрофы «сборка»

Рис. 3.6. Иллюстрация дивергенции при сборке

Катастрофа «сборка» хорошо иллюстрирует свойство дивергенции, что ясно видно на рис. 3.6, где показаны траектории системы из двух близких состояний E и F. Если значение q уменьшается, система движется к точкам G и H соответственно. При одном и том же изменении параметра q и даже при том, что обе траектории могут начинаться из сколь угодно близких точек, они приводят систему в весьма далекие друг от друга конечные состояния. Благодаря наличию складки, траектории из двух этих близких точек расходятся, причем траектория EG оказывается на верхнем, а траектория FH – на нижнем листе многообразия.

Приведенные здесь примеры отнюдь не исчерпывают все известные в настоящее время типы катастроф. Всем, кто хотел бы получить простое и ясное представление о приложении теории катастроф, лучше всего обратиться к работе Джилмора (1980) и Касти (1982). Помимо популярного введения в теорию катастроф и формулировки основных условий, необходимых для ее применения, в них демонстрируется применение этой теории при моделировании биосистемы. Мы приведем пример из работы Джефферса (1981) по анализу заболеваемости голландского вяза.

Возбудителем этого заболевания, вызывающего высыхание верхушек деревьев и их гибель, является гриб Ceratocystis ulmi, который переносится от дерева к дереву жуками-короедами рода Scolytus. В Англии заболевание было впервые зарегистрировано в 1927 г., хотя почти наверняка оно существовало ранее. После 1927 г. произошло несколько серьезных вспышек этого заболевания, когда оно, очевидно, переходило от эндемической стадии к эпидемической.

Исследования позволяют утверждать, что рассматриваемая эпидемическая вспышка болезни вызвана агрессивным штаммом Ceratocystis ulmi, и предполагается, что заметная региональность в распространении заболевания есть результат независимого появления агрессивного штамма в различных местах. Считается, что слабо пораженные деревья, – особенно в местах, удаленных от основных очагов заболевания, – заражены неагрессивным штаммом, который образует остаточную популяцию Ceratocystis ulmi, сохранившуюся после спада предыдущей эпидемии.

Альтернативная гипотеза состоит в том, что как гибель значительной части зараженных вязов, так и наличие агрессивного штамма являются отражением эпидемической фазы заболевания и что оба эти фактора связаны с популяцией жуков-короедов Scolytus и числом вязов на единицу площади так, как это показано на рис. 3.7. Типичный путь развития эпидемии начинается в точке А, для которой характерно большое число вязов на единицу площади и низкая численность популяции жуков. Если популяция жуков увеличивается (например, вследствие того, что в течение нескольких лет была мягкая зима), этот путь пересекает складчатую особенность в точке Т и скачком переходит в точку В эпидемической стадии, для которой характерны наличие агрессивного штамма и гибель значительной части зараженных деревьев.

Рис. 3.7. Модель, основанная на теории катастроф, для заболевания
голландского вяза

Из точки В система может двигаться двумя различными путями. Если в результате эпидемии или выборочной рубки число вязов на единицу площади существенно уменьшается и параллельно уменьшается численность жуков, то заболевание постепенно возвращается к эндемическому уровню. Если, однако, вследствие соответствующей обработки или неблагоприятных условий популяция жуков резко сокращается прежде, чем существенно уменьшается численность вязов, то «путь» заболевания переходит через складку, совершая резкий переход в точку С эндемического уровня, причем скорость перехода зависит от размаха складки.

О динамике популяций жуков-короедов известно довольно мало. В работе Гиббса и Хоуэлла, однако, приведены оценки численности вязов на 1км² в южных графствах Англии наряду с оценками доли зараженных вязов и доли вязов с явными признаками заболевания по данным 1971г. Если считать долю зараженных вязов грубым показателем численности популяции жуков, то можно провести предварительную оценку справедливости гипотезы теории катастроф, опираясь на соотношения между долями вязов с явными признаками заболевания и зараженных деревьев. Для графств с плотностью менее 200 вязов на 1км² и более 200 вязов на 1км² они представлены на рис. 3.8. Эти данные не противоречат гипотезе многообразия со сборкой где-то между 100 и 200 вязами на 1км² при доле зараженных деревьев примерно 10%. Ясно, однако, что для проверки этой гипотезы необходимы дальнейшие исследования.

Модели, основанные на теории катастроф, впервые появились в 1970 г. и с тех пор вызывают большой интерес. Эти модели привлекают стройностью своей теории и наглядностью изображения, но их трудно применять к ситуациям с большим числом измерений. Серьезные трудности приходится преодолевать и при оценке параметров многообразий по экологическим данным. Тем не менее, можно почти не сомневаться, что в ближайшем будущем эти модели получат дальнейшее развитие и применение.

Мы завершаем обзор основных семейств математических моделей, встречающихся в приложениях системного анализа к экологическим проблемам. Для конкретных задач могут оказаться приемлемы все либо некоторые из этих семейств моделей, и на этапе выбора путей решения следует использовать – по крайней мере в предварительной форме – как можно большее их число.

Рис. 3.8. Соотношение между долями зараженных вязов
и вязов с явными признаками заболевания

ТЕМА 4. МНОГОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОПУЛЯЦИЙ И ЭКОСИСТЕМ

В экологических исследованиях и других приложениях системного анализа, как правило, решение различных проблем и разработка моделей связаны с анализом множества переменных. Такие модели называются «многомерными», и они связаны с методами, которые в совокупности именуются «многомерным анализом» – выражение, достаточно широко используемое для обозначения методов обработки данных, которые являются многомерными в том смысле, что каждый представитель (индивидуум или группа) порождает значения р переменных. Математический аппарат, основанный на многомерных нормальных распределениях, был разработан в 30-е годы прошлого столетия и методы, разработанные в то время, служат основой большинства многомерных методов, применяемых и по сей день. Как правило, вычисления, необходимые для многомерного анализа и построения многомерных моделей, довольно громоздки и зависят от количества рассматриваемых переменных (р) и требуют значительных вычислительных ресурсов. В данной главе мы рассмотрим основные многомерные модели, которые применяются в настоящее время и имеются в современных статистических пакетах для ПЭВМ с примерами для анализа биосистем.

Прежде всего эти модели можно разделить на две основные категории, а именно: модели, в которых одни случайные величины используются для предсказания значений других, и модели, где переменные одного типа и не делается попыток предсказать одно множество значений по другому. Последнюю категорию моделей, которые в целом называются описательными, можно далее подразделить на модели, у которых все входы количественные и которые используют анализ главных компонент и кластерный анализ, и модели, у которых, по крайней мере, некоторые из входов не количественные, а качественные. Для последних больше подходит модель взаимного осреднения. Прогностические модели, в свою очередь, могут быть подразделены по числу предсказываемых случайных величин, а затем по тому, являются ли все прогнозы количественными. Если предсказывается несколько величин, наиболее приемлемой оказывается модель канонического анализа. Если же предсказываемая величина только одна и a priori имеется две группы индивидов, наиболее подходящей из имеющихся моделей оказывается модель дискриминантного анализа, в то время как более чем для двух априорных групп индивидов наиболее плодотворным оказывается подход, основанный на применении канонических переменных, хотя это и не исключает использование попарных дискриминантных функций.

4.1. Линейный корреляционный анализ

Корреляционный анализ – один из методов исследования взаимосвязи между двумя или более переменными. Многие многомерные модели основаны на анализе корреляционных или связанных с ними ковариационных таблиц, построенных для множества переменных.

Термин «корреляция», буквально означающий «соотношение» или «взаимосвязь», имеет следующий смысл: корреляция есть наличие взаимной согласованности в изменчивости двух или нескольких признаков, явлений. Корреляционный анализ изучает сопряженную изменчивость двух или нескольких признаков. Работа по проведению корреляционного анализа начинается с построения корреляционных решеток (табл. 4.1). Пусть имеется выборка наблюдений (х, у) из популяции W. Причем х и у – случайные величины. Корреляционная решетка для двух переменных (признаков) представляет собой таблицу из m×к клеток, где m и к – число значений признаков х и у. Значения признаков удобно располагать в возрастающем порядке слева направо для х и сверху вниз для у. В клетках таблицы производят разноску сопряженных частот f_xy (число наблюдений со значениями признаков х и у) в зависимости от значений двух признаков одновременно.

Таблица 4.1

Схема корреляционной решетки

х У	Х 1	Х 2	Х 3	…	Хk	fy
Y1 Y2 Y3 … ym	F11 F21 F31 Fm1	F12 F22 F32 Fm2	F13 F23 F33 Fm3	… … … …	F1k F2k F3k Fmk	Fy1 Fy2 Fy3 Fym
fx	Fx1	Fx2	Fx3	…	Fxk	n

f_x ,_,f_y – частоты вариационных рядов, f_ij – сопряженные частоты,
n – объем выборки, х, у – значения признаков:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Для расчета коэффициента корреляции необходимо предварительно рассчитать некоторые статистики (средние значения, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, корреляционный момент) по следующим формулам:

– средние (4.4)

– дисперсии (4.5)

– среднеквадратичные отклонения (4.6)

, (4.7)

m_xy – корреляционный момент.

Для удобства расчетов рекомендуется заполнить табл. 4.2

Таблица 4.2

Таблица для расчета коэффициента линейной корреляции

Х у	Х1	Х2	…	Хк	fyi	fyiyi		Y2i*fyi
Y1	f11	f12	…	f1k
Y2	f21	f22	…	f2k
…	…	…	…	…
ym	fm1	fm2	…	fmk
fxj
fxj · xj

Окончание табл. 4.2

fxj · x2j

Коэффициент линейной корреляции рассчитывается по формулам:

(4.8)

или . (4.9)