Основные законы распределения, используемые в теории надежности

3.1.1 Экспоненциальный закон распределения

Экспоненциальный закон распределения называемый также основным законом надеж­ности, часто используют для прогнозирования надежности в период нормальной эксплуата­ции изделий, когда постепенные отказы еще не проявились и надежность характеризуется внезапными отказами. Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоя­тельств и поэтому имеют постоянную интенсивность. Экспоненциальное распределение на­ходит довольно широкое применение в теории массового обслуживания, описывает распре­деление наработки на отказ сложных изделий, время безотказной работы элементов радио­электронной аппаратуры.

Приведем примеры неблагоприятного сочетания условий работы деталей машин, вы­зывающих их внезапный отказ. Для зубчатой передачи это может быть действием макси­мальной нагрузки на наиболее слабый зуб при его зацеплении; для элементов радиоэлек­тронной аппаратуры — превышение допустимого тока или температурного режима.

Когда за случайную величину принимается время работы объекта t, вероятность того, что изделие на протяжении времени t будет находиться в работоспособном состоянии, равна

, (31)

где — интенсивность отказов объекта для экспоненциального распределения, ;

- время работы объекта.

Значение функции представлены в приложении А таблица А.1.

Вероятность отказа за время определяется по формуле

, (32)

где - вероятность безотказной работы изделие на протяжении времени t.

Плотность вероятности отказов находим по формуле

. (33)

График экспоненциального распределения основных характеристик надежности представлен на рисунке 13.

Средняя наработка до отказа определяется по формуле

. (34)

Дисперсия времени работы до возникновения отказа:

. (35)

Среднеквадратическое время работы:

. (36)

Время возникновения первичных отказов может быть расположено на оси времени так, что суммарный поток отказов сложного изделия становится близким к простейшему, т. е. с постоянной интенсивностью отказов.

Этими обстоятельствами, а также тем, что предположение об экспоненциальном распределении существенно упрощает расчеты надежности, объясняется широкое применение экспоненциального закона в инженерной практике.

Рисунок 13 – Экспоненциальное распределение основных количественных характеристик надежности

3.1.2 Гамма-распределение

Гамма-распределение является двухпараметрическим распределением. Оно занимает важное место в теории надежности. Плотность распределения имеет ограничение с одной стороны (0 ≤ х < ≤∞). Если параметр формы кривой распределения принимает целое значе­ние, то это свидетельствует о вероятности появления такого же числа событий (например, отказов) при условии, что они независимы и появляются с постоянной интенсивностью λ. Гамма-распределение широко применяют при описании появления отказов стареющих эле­ментов, времени восстановления, наработки на отказ резервированных систем. При различ­ных параметрах гамма-распределение принимает разнообразные формы, что и объясняет его широкое применение.

Плотность вероятности отказа устройства за время t:

. (37)

где λ₀ — исходная интенсивность отказов элементов устройства, отказ которого вызывается отказом k элементов;

- параметр формы кривой распределения.

Средняя наработка до отказа определяется по формуле

. (38)

Интенсивность отказа устройства определяется по формуле

. (39)

Вероятность безотказный работы устройства:

. (40)

Гамма-распределение основных количественных характеристик надежности представлен на рисунке 14. При =1 γ-распределение совпадает с экспоненциальным распределением.

При увеличении γ-распределение будет приближаться к симметричному распределению, а интенсивность отказов будет иметь все более выраженный характер возрастающей функции времени.

Математическое ожидание и дисперсия соответвенно равны

, (41)

. (42)

Рисунок 14 – Гамма-распределение основных количественных характеристик надежности

3.1.3 Распределение Вейбулла

Закон Вейбуллапредставляет собой двухпараметрическое распределение.Этот закон является универсальным, так как при соответствующих значениях параметров превраща­ется в нормальное, экспоненциальное и другие виды распределений. Автор данного закона использовал его при описании экспериментально наблюдавшихся разбросов усталостной прочности стали, пределов ее упругости. Закон Вейбулла удовлетворительно описывает на­работку до отказа подшипников, элементов радиоэлектронной аппаратуры, его используют для оценки надежности деталей и узлов машин, в частности автомобилей, а также для оцен­ки надежности машин в процессе их приработки. Плотность распределения отказов описывается за­висимостью

, (43)

где - параметр формы кривой распределения;

— параметр масштаба;

- время работы устройства.

Вероятность безотказной работы за время t определяется по формуле

. (44)

Интенсивность отказов определяется по формуле

. (45)

Параметр определяет масштаб, при его изменении кривая распределения сжимается или растягивается. При =1 функция распределения Вейбулла совпадает с экспоненциальным распределением; при < 1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией; при > 1 — монотонно возрастающей. Это обстоятельство дает возможность подбирать для опытных данных наиболее подходящие параметры и , с тем чтобы уравнение функции распределения наилучшим образом совпадало с опытными данными.

Распределение Вейбулла основных количественных характеристик надежности представлены на рисунке 15.

Этот закон применим для отказов устройства, состоящего из последовательно соединенных дублированных элементов и других подобных случаев.

Средняя наработка до отказа определяется из следующего выражения

, (46)

где - значения гамма-функции, представлены в приложение Б таблица Б.1.

Математическое ожидание случайной величины равно

. (47)

Дисперсия случайной величины равна

. (48)

Рисунок 15 – Распределение Вейбулла основных количественных характеристик надежности

3.1.4 Нормальное распределение

Нормальный закон распределения часто называют законом Гаусса. Этот закон играет важную роль и наиболее часто используется на практике по сравнению с другими законами распределения.

Основная особенность этого закона состоит в том, что он является предельным зако­ном, к которому приближаются другие законы распределения. В теории надежности его ис­пользуют для описания постепенных отказов, когда распределение времени безотказной ра­боты в начале имеет низкую плотность, затем максимальную и далее плотность снижается.

Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие, примерно равнозначные факторы.

Нормальное распределение основных количественных характеристик надежности представлены на рисунке 16.

Плотность распределения отказов описывается формулой

, (49)

где — средняя наработка до отказа;

— среднее квадратическое отклонение времени безотказной работы.

Вероятность отказа за время можно описать по формуле

. (50)

Значение функции распределения определяется формулой

(51)

где ,

- вероятность отказа.

Вероятность безотказной работы за время t:

. (52)

Значения табулированы и представлены в приложении В таблица В.1.

Параметр представляет собой математическое ожидание случайной величины оцениваемой по формуле

. (53)

Среднее квадратическое отклонение случайной величины оценивается по формуле

(54)

Рисунок 16 - Нормальное распределение основных количественных характеристик надежности

3.1.5 Распределение Рэлея

Распределение Рэлея основных количественных характеристик надежности представлены на рисунке 17.

Распределение Рэлея — непрерывное распределение вероятностей с плотностью описываемой формулой

(55)

(56)

где — масштабный параметр, .

Также как распределение Вейбулла или γ-распределение, распределение Рэлея пригодно для описания поведения изнашивающихся или стареющих изделий.

Частота отказов (функция плотности распределения вероятности отказов) определяется

. (57)

Вероятность безотказной работы вычисляется из выражения:

, (58)

Интенсивность отказов определяется как

(59)

Средняя наработка до отказа составит

. (60)

Рисунок 17 - Распределение Рэлея основных количественных характеристик надежности