Абстрактное описание процесса функционирования объектов

Если отойти от конкретного содержания процесса функционирования технического объекта, то в простейшем случае может быть предложена следующая математическая модель этого процесса. В любой произвольный процесс времени t объект может находиться в одном из двух состояний: отказа и работоспособности. Обозначим неизвестное текущее состояние объекта в момент времени t через Z(t), состояние отказа через и состояние работоспособности через Z. Весь процесс функционирования объекта можно представить чередующейся последовательностью случайных величин x₁, h₁, x₂, h₂, …, x_i, (рисунок 1), h_I, где x_i - длительность i-го по счету периода работоспособности, а h - периода отказа.

h₁ h₂ h₃

x₁ x₂ x_{3 ...}

t

Рисунок 1 – Процесс функционирования объекта

Все введенные символы взаимосвязаны следующими соотношениями в формуле 1:

(1)

Рассмотрим теперь систему, состоящую из п элементов. Состояние системы в момент времени t определяется состоянием отдельных ее элементов в этот момент. Если состояние j -го элемента системы в момент времени t обозначить через Z_j(t), то состояние системы можно записать в виде формулы

. (2)

Определенным совокупностям состояний элементов соответствует состояние исправности системы в целом Z (например, состояние Z₁, Z₂,..., Z_n всегда есть состояние исправности для системы). Другим совокупностям состояний элементов соответствует состояние отказа системы в целом .

Поясним сказанное на примере системы из двух элементов. Всего возможно четыре различных состояния системы, определяемых состояниями отдельных элементов, формула 3

Z¹=(Z₁,Z₂), Z² =(,Z₂), Z³ = (Z₁, ), Z⁴ =() (3)

С течением времени система может переходить из одного состояния в другое (рисунок 2).

Рисунок 2 - Схема перехода из одного состояния в другое

Рассмотрим структуру последовательного соединения элементов в системе, такое соединение, в котором отказ хотя бы одного элемента приводит к отказу всей системы (рисунок 3). В этом случае Z¹ = Z, а совокупность состояний Z², Z³ и Z⁴ составит состояние отказа системы .

Для другой характерной структуры — параллельного соединения элементов (рисунок 4) — отказ наступает лишь при одновременном отказе всех элементов , а остальные состояния Z¹, Z², Z³ представляют собой состояние работоспособности системы Z.

Рисунок 3 – Последовательное соединение элементов в системе

Рисунок 4 – Параллельное соединение элементов в системе

Все множество состояний системы принято называть фазовым пространством состояний системы.

В общем случае фазовое пространство не обязательно является дискретным. Рассмотрим в качестве примера системы из таких элементов, когда хотя бы один из них характеризуется непрерывным множеством состояний. Это может произойти, если основной рабочий параметр принимает любые значения из некоторого интервала. Пусть j -й элемент характеризуется некоторым значением параметра Y(t) в момент времени t, которое и определяет полностью его состояние в этот момент времени. Тогда состояние системы, состоящей из n таких элементов, будет в момент времени описываться вектором из n -мерного непрерывного пространства, согласно формулы

. (4)

Рисунок 5 иллюстрирует простейший случай для системы из двух элементов пространства состояний.

Рисунок 5 – Пространство состояний системы

Пусть G_y — область допустимых значений, соответствующих работоспособности системы. Выход из этой области во внешнюю область определяет состояние отказа. Здесь изображено блуждание системы в процессе функционирования из состояния Y₀ в состояние отказа Y₁, откуда за счет некоторых восстановительных мероприятий (например, регулировки или замены элементов) система переведена в работоспособное состояние. Вне зависимости от того, рассматриваем мы дискретное или непрерывное фазовое пространство при исследовании надежности, всегда остается одна существенная сторона этого фазового пространства: она четко подразделяется на состояние двух типов - работоспособности и отказа.