Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением n-ого порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение

y⁽ⁿ⁾+p₁y^(n-1)+p₂y^(n-2)+…+p_n-1y^|+p_ny=0, (6.4.29)

в котором все члены имеют первую степень относительно функции ее производных, а коэффициенты p₁,p₂,…,p_n – постоянные.

Общее решение линейного однородного уравнения (6.4.29) имеет вид

y=C₁y₁+C₂y₂+…+C_ny_n, (6.4.30)

где y₁,y₂,…y_n – линейно независимые частные решения (фундаментальная система решений) этого уравнения, а C₁,C₂,…C_n – произвольные постоянные.

Для отыскания общего решения уравнения (6.4.29) составляется характеристическое уравнение

rⁿ+p₁r^n-1+p₂r^n-2+…+p_n-1r+p_n=0, (6.4.31)

которое получается из уравнения (6.4.29) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями r, причем сама функция заменяется единицей.

Тогда общее решение уравнения (6.4.29) строится в зависимости от характера корней уравнения (6.4.31):

1) каждому действительному однократному (т.е. простому) корню r в общем решении соответствует слагаемое вида Ce^rx;

2) каждому действительному корню r кратности k в общем решении соответствует слагаемое вида (C₁+C₂x+…+C_k-1x^k-1)e^rx;

3) каждой паре комплексных сопряженных однократных корней и в общем решении соответствует слагаемое вида ;

4) каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности L в общем решении соответствует слагаемое вида