Равномерная сходимость функционального ряда

Среди сходящихся функциональных рядов выделяются своей важностью так называемые равномерно сходящиеся ряды.

Определение 6.2.8. Ряд (1) называется равномерно сходящимся на множестве Д, если для любого можно указать такое число , что при всех будет выполнятся неравенство: для всех (или ).

- n-я частичная сумма ряда (1)

S(x)- сумма ряда (1)

Рассмотрим следующий признак, достаточный для равномерной сходимости функционального ряда.

Теорема (признак Вейерштрасса) 6.2.15.: Если функциональный ряд (1) мажорирует на данном множестве Д, то он: 1) равномерно и 2) абсолютно сходится на этом множестве.

Пример 6.2.26.Доказать, что ряд сходится равномерно на всей оси ОХ.

Т. к. для " имеем , то (). Ряд сходится. По признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на всей оси.

Замечание 6.2.8.Признак Вейерштрасса дает только достаточное условие равномерной сходимости функционального ряда, оно не является необходимым.

Замечание 6.2.9. Равномерно сходящийся в некотором промежутке ряд не обязательно сходится там и абсолютно.