Согласованный фильтр

В разделе 3 введенное понятие «согласованный фильтр» (СФ) как устройство для вычисления коэффициента представления демодулируемого сигнала в ортонормированном базисе. СФ находит более широкое применение в аппаратуре систем передачи. Поэтому ниже рассматривается СФ из общих позиций.

Есть линейный четырехполюсник (фильтр) с передаточной функцией H (j w). На его вход подается сумма детерминированного импульсного сигнала s (t) и помехи n (t): z (t) = s (t) + n (t). На выходе четырехполюсника имеет место сумма откликов на сигнал и помеху y (t) = y_s (t) + y_n (t). К выходу четырехполюсника подключен дискретизатор для взятия отсчета в момент t ₀ (рис. 4.1). Такое устройство используется для ослабления помехи и взятия отсчета с целью определения амплитудного значения импульса s (t).

Фильтр называется согласованным с сигналом s (t), если при подаче на его вход суммы сигнала s (t) и помехи n (t) на его выходе в определенный момент времени t ₀ имеет место максимальное отношение мгновенной мощности сигнала y_s ²(t ₀) к средней мощности шума P_{n вых}.

Согласованный фильтр (СФ) используется не только для максимального ослабления помехи, но и для выполнения некоторых других важных преобразований сигналов и помех. Поэтому рассмотрим свойства СФ.

1. Найдем комплексную передаточную функцию СФ H (j w). Сигнал s (t) задан, а помеха n (t) – белый шум со спектральной плотностью мощности N ₀/2.

Пусть

– (4.1)

спектральная плотность сигнала s (t). Тогда спектральная плотность выходного сигнала y_s (t) определяется

. (4.2)

Отсчетное значение сигнала y_s (t ₀) определим как обратное преобразование Фурье от S _вых(j w) для момента времени t ₀

. (4.3)

Мощность шума на выходе фильтра (средний квадрат отсчета шума y_n (t ₀)) определяются

. (4.4)

Запишем отношение мгновенной мощности сигнала y_s ²(t ₀) к средней мощности шума P_{n вых} в отсчетный момент

. (4.5)

Будем искать передаточную функцию H (j w), при которой имеет место максимальное значение числителя в соотношении (4.5). Воспользуемся тем, что интеграл в числителе – скалярное произведение двух функций S *(j w) и (S *(j w) – функция, комплексно спряженная с функцией S (j w)). Скалярное произведение функций максимальное, если функции совпадают с точностью до произвольного положительного коэффициента c, т.е. = с × S *(j w). Значит, максимум числителя (4.5) имеет место при передаточной функции

. (4.6)

После подстановки выражения (4.6) в соотношение (4.5) получим

. (4.7)

Здесь использовано, что энергия сигнала s (t) определяется

. (4.8)

Видим, что при выполнении соотношения (4.6) обеспечивается не только максимум числителя отношения сигнал/шум (4.5), но и максимум этого отношения (значение r не зависит от конкретного вида передаточной функции H (j w), входящей в знаменатель). Таким образом, задача определения передаточной функции СФ H (j w) решена.

2. Соотношение (4.7) определяет максимально возможное отношение сигнал/шум на выходе фильтра в отсчетный момент. Это отношение принято называть пиковым

. (4.9)

Определим выигрыш в отношении сигнал/шум, показывающий во сколько раз увеличивается отношение сигнал/шум при фильтрации СФ,

, (4.10)

где F _ш – шумовая полоса помехи на входе фильтра;

T_s – длительность сигнала s (t);

P_s и P_n – средние мощности сигнала и помехи на входе фильтра.

Из выражения (4.10) видно, что при определенных соотношениях между шумовой полосой помехи и длительностью сигнала выигрыш может принимать большие значения.

3. Найдем амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики СФ. Передаточная функция любой линейной электрической цепи определяет ее АЧХ и ФЧХ:

H (j w) = H (w) eхр(j j(w)), (4.11)

где H (w) – АЧХ цепи, j(w) – ФЧХ цепи.

Представим спектральную плотность сигнала s (t) через модуль и аргумент

S (j w) = S (w) exp(j y(w)), (4.12)

где S (w) – амплитудный спектр сигнала, y(w) – фазовый спектр сигнала.

После подстановки (4.11) и (4.12) в (4.6) получим, что АЧХ СФ

H (w) = сS (w) (4.13)

с точностью до произвольного коэффициента совпадает с амплитудным спектром сигнала, с которым фильтр согласован. Коэффициент передачи CФ больше на тех частотах, на которых больше составляющие сигнала s (t).

Равенство аргументов левой и правой частей (4.6) дает

j(w) = –y(w) – w t ₀, (4.14)

что трактуется так: ФЧХ СФ с точностью до линейного слагаемого противоположна по знаку фазовому спектру сигнала, с которым фильтр согласован.

Для выяснения физической сущности ФЧХ СФ рассмотрим некоторую составляющую сигнала частоты f_i: A_i cos(2p f_i t + y _i). Эта составляющая на выходе CФ определяется:

A_i (f_i)cos(2p f_it + y _i + j(f_i)) = A_i (f_i)cos(2p f_it + y _i – y _i – 2p f_it ₀).

Полная фаза колебания равняется 2p f_i (t – t ₀). В момент t = t ₀ полная фаза колебания равна нулю независимо от частоты. В этот момент все составляющие находятся в фазе и при сложении дают максимально возможное значение отклика.

4. Найдем импульсную реакцию СФ как обратное преобразование Фурье от передаточной функции

(4.15)

Видим, что импульсная реакция СФ является зеркальным отображением сигнала, с которым фильтр согласован, относительно точки t ₀ в масштабе с.

Пример 4.1. Построим график импульсной реакции фильтра, согласованного с сигналом

Условием физической реализуемости линейной электрической цепи является требование к ее импульсной реакции: g (t) º 0 для значений t < 0. Из рис. 4.2 видно, что для выполнения этого условия необходимо наложить требование на момент отсчета: t ₀ ³ T_s, где T_s – длительность сигнала s (t).

а

5. Пусть на входе СФ действует произвольный сигнал z (t). Отклик фильтра определяется интегралом Дюамеля

, (4.16)

где K_zs (t) – функция взаимной корреляции сигналов z (t) и s (t).

Из выражения (4.16) вытекает, что форма сигнала на выходе СФ определяется функцией взаимной корреляции входного сигнала и сигнала, с которым фильтр согласован, а именно, она повторяет функцию взаимной корреляции в масштабе с и смещена вправо на t ₀.

Если в соотношении (4.16) положить с = 1 и t ₀ = T_s, то легко убедиться, что y (T_s) дает значение скалярного произведения сигналов z (t) и s (t). Это свойство СФ использовалась выше для определения коэффициентов разложения – соотношение (3.4).

6. Пусть на вход СФ подается сигнал, с которым фильтр согласован. Тогда на основании (4.16) запишем

, (4.17)

где K_s (t) – функция корреляции сигнала s (t).

Таким образом, если на вход СФ подается сигнал, с которым фильтр согласован, то отклик фильтра определяется функцией корреляции сигнала, а именно, она повторяет функцию корреляции сигнала в масштабе с и смещена вправо на t ₀.

Упражнение 4.1. Проиллюстрируем рассмотренные свойства СФ на примере фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом амплитуды А и длительности T_s. Пусть с = 1/ A и t ₀ = T_s. Импульсная реакция фильтра, согласованного с П-импульсом, имеет П-образную форму, амплитуду 1 и длительность T_s, т.е. импульсная реакция совпадает с сигналом (рис. 4.3, а).

Спектральная плотность П-импульса определяется преобразованием Фурье

S _п(j w) = . (4.18)

На основе соотношения (4.6) получим выражение для передаточной функции фильтра, согласованного с П-импульсом, если с = 1/ A и t ₀ = T_s

H (j w) = . (4.19)

Из этого соотношения вытекает, что схема фильтра, согласованного с П‑импульсом, состоит из интегратора (с передаточной функцией 1/ j w), устройства задержки на время T_s (с передаточной функцией exp(– j w T_s)) и вычитателя (рис. 4.3, в). На этом рисунке цифрами обозначены отдельные точки схемы для обсуждения ее работы.

Легко получить выражение для АЧХ фильтра, согласованного с П‑импульсом. Окончательное выражение для АЧХ после перехода к сменной f имеет вид функции sin(x)/ x

. (4.20)

АЧХ СФ и амплитудный спектр сигнала показаны на рис 4.3, б.

На рис. 4.4, а показаны процессы, имеющие место в СФ при подаче на его вход d-функции. На выходе схемы наблюдается импульсная реакция. На рис. 4.4, б показаны процессы, имеющие место в СФ при подаче на его вход импульса, с которым фильтр согласован. На выходе схемы наблюдается отклик, совпадающий с корреляционной функцией П-импульса длительностью Т_s (см. модуль 1).

Контрольные вопросы

1. Что является критерием оптимальности согласованного фильтра?

2. Пересчитайте свойства согласованного фильтра.

3. Как определяется пиковое отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра?

5. Применение согласованных фильтров
в демодуляторах сигналов АИМ- М

Рассмотрим совместно схемы модулятора и демодулятора сигналов АИМ-М (рис. 5.1). Схема модулятора строится на основе описания канальных символов сигналов АИМ- М

, (5.1)

где А (t) – импульс с определенными частотными и временными характеристиками;

a_i – коэффициент, отображающий переданные биты.

На схеме КМК – кодер модуляционного кода, который вырабатывает коэффициенты a_i на основе входного цифрового сигнала – на каждом тактовом интервале блока из n = log₂ M бит ставится в соответствие коэффициент a_i. Этот коэффициент подается на вход формирующего фильтра (ФФ) сигналом a_i d(t). ФФ формирует импульс a_iА (t).

Схема демодулятора построена на основе материала предыдущих разделов. На вход согласованного фильтра поступает сумма сигнала и помехи a_iА (t) + n (t). Согласованный фильтр ослабляет помеху, и на его выходе имеет место полезный сигнал a_iР (t) и помеха z(t). Дискретизатор берет отсчет и выдает оценку коэффициента a_i. Максимальное значение импульса P (t) в момент отсчета равняется 1, поэтому = a_i + z (оценку можно рассматривать как коэффициент z ₀ представления сигнала z (t) в одномерном пространстве относительно базисной функции А (t)). Дискретизатор управляется последовательностью импульсов от схемы тактовой синхронизации (ТС), что обеспечивает взятие отсчетов в моменты максимального отношения сигнал/шум. На основе полученной от дискретизатора оценки схема решения (СР) выносит решение о номере переданного канального символа и выдает решение двоичными символами согласно модуляционному коду.

Поскольку формирующий фильтр возбуждается d-функцией, то амплитудный спектр импульса A (t) равняется АЧХ ФФ

S_A (f) = H _ФФ(f). (5.2)

Амплитудный спектр импульса Р (t) определяется

S_P (f) = S_A (f)× H _СФ(f), (5.3)

где H _СФ(f) – АЧХ фильтра, согласованного с импульсом A (t).

Импульс на выходе СФ Р (t) должен удовлетворять условию отсутствия межсимвольной интерференции (МСИ), поэтому потребуем, чтобы спектр S_P (f) был спектром Найквиста N (f):

S_P (f) = N (f). (5.4)

Воспользуемся свойством СФ: его АЧХ совпадает с амплитудным спектром сигнала, с которым он согласован (при с = 1)

H _СФ(f) = S_A (f). (5.5)

Учитывая равенства (5.2)...(5.5) приходим к выводу, что

H _ФФ(f) = H _СФ(f) = . (5.6)

Говорят, что АЧХ ФФ и СФ описываются зависимостью «корень квадратный из спектра Найквиста».

Обычно спектр Найквиста описывают зависимостью «поднятый косинус»

N (f) = (5.7)

где Т – тактовый интервал;

f _н = 1/(2 Т) – частота Найквиста;

a – коэффициент ската спектра.

Зависимость «корень квадратный из спектра Найквиста» описывается

= (5.8)

На рис. 5.2 показаны зависимости N (f) и при a = 0,4. Из рис. 5.2, б видно, что формирующий и согласованный фильтры являются фильтрами нижних частот, но со специальной АЧХ. Если в качестве ФФ и СФ использовать фильтры Баттерворта, Чебышева и др., синтезированные с целью приближения их АЧХ к П-образной, то не будет выполняться условие отсутствия МСИ.

Выражение для импульса A (t) можно получить как обратное преобразование Фурье от зависимости , считая, что фазовый спектр тождественно равен нулю:

(5.9)

Функцию P (t) можно получить как обратное преобразование Фурье от N (f), считая, что фазовый спектр тождественно равен нулю:

P (t) = . (5.10)

На рис. 5.3 показаны графики импульсов A (t) и P (t) при a = 0,4. Из графика P (t) видно, что его амплитудное значение равно 1. А это значит, что при передаче импульса a_iА (t) отсчет на выходе дискретизатора равен a_i. Из рис. 5.3 видно, что импульс P (t) принимает нулевые значения при t = ± kТ (k = 1, 2, 3,…), т.е. удовлетворяет условию отсчетности. Импульс A (t) не принимает нулевые значения при t = ± kТ (k = 1, 2, 3, …).

Определим энергию импульса A (t), что необходимо в дальнейшем анализе,

. (5.11)

Результат получен, исходя из того, что интеграл равняется площади под кривой, описываемой подынтегральной функцией (рис. 5.2, а). Поскольку функция N (f) имеет кососимметричный скат, то эта площадь равняется площади прямоугольника высотой Т и основанием f _н = 1/(2 Т). Полученное значение позволяет легко определять энергию сигнала :

. (5.12)

Для дальнейшего анализа необходимо также значение средней мощности шума на выходе СФ, АЧХ которого описывается зависимостью , при условии, что спектральная плотность мощности шума на входе СФ N ₀/2

. (5.13)

При интегрировании использован тот же подход, что и при вычислении интеграла (5.11). Значение СКО шума на выходе СФ равняется

. (5.14)

Учитывая (5.12) и (5.14), легко убедиться, что отношение сигнал/шум в момент отсчета

(5.15)

соответствует свойству согласованного фильтра (4.9).

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте назначение формирующего и согласованного фильтров.

2. Сформулируйте назначение тактовой синхронизации.

3. Как определяется СКО шума на выходе СФ?