Простые действительные корни

Пусть все корни характеристического уравнения действительные и разные . Каждому из них будет соответствовать один собственный вектор α_j . Тогда мы имеем n частных решений системы вида: . Эти решения линейно независимы, так как определитель фундаментальной матрицы решений системы Х (определитель Вронского) не равен нулю в силу того, что собственные векторы матрицы линейно независимы (см. [3]):

Следовательно, они составляют ФСР системы, а общее решение системы (5.6) в этом случае имеет вид .

Пример 5.2. Решим систему

Матрица системы . Характеристическое уравнение:

.

Корни характеристического уравнения:

Находим собственные векторы: , .

1.

Отсюда, приняв за свободную переменную получим и .

Частное решение, соответствующее данному собственному числу матрицы .

2.

Отсюда, приняв за свободную переменную , получим и, соответственно, . Частное решение, соответствующее данному собственному числу матрицы .

Общее решение в векторной форме .

Общее решение в координатной форме: .