Частотные характеристики. Фильтры

Четырехполюсник – это устройство, имеющее четыре контакта: два входных контакта используются для подключения источника сигнала и два выходных – для подключения нагрузки (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Четырехполюсник: e_c(t) – ЭДС сигнала; Z_c – полное сопротивление

источника сигнала; u₁(t) – входное напряжение; i₁(t) – входной ток; u₂(t) – выходное

напряжение; i₂(t) - выходной ток; Z_н – полное сопротивление нагрузки

Четырехполюсники широко применяются в системах информации. Четырехполюсниками являются усилители, фильтры, линии связи и т.д.

Четырехполюсник, содержащий только линейные элементы, называется линейным.

Если внутри четырехполюсника есть нелинейные или параметрические элементы, то четырехполюсник будет нелинейным или параметрическим.

Четырехполюсник, не содержащий источников напряжения или тока, называется пассивным.

Активные четырехполюсники содержат источники напряжения или тока.

Теория четырехполюсников позволяет рассматривать устройство в виде «черного ящика», т.е. устройства с неизвестной для нас внутренней структурой. Свойства структуры будут проявляться через взаимосвязь входных и выходных токов и напряжений.

Рассмотрим уравнения линейных четырехполюсников.

Пусть заданы входной I₁ и выходной I₂ токи четырехполюсника (рис. 8.1). Входные и выходные напряжения U₁ и U₂ будут функциями этих токов:

; . (8.1)

Так как четырехполюсник линейный, то в силу принципа суперпозиции функции в уравнениях (8.1) будут линейными:

(8.2)

Коэффициенты Z₁₁, Z_12, Z_21, Z₂₂ имеют размерность сопротивлений. Соотношения (5.2) называют уравнениями четырехполюсника с Z-параметрами.

Если заданы напряжения четырехполюсника U₁ и U₂, то можно получить уравнения:

(83)

Коэффициенты Y₁₁, Y_12, Y_21, Y₂₂ имеют размерность проводимостей. Соотношение (8.3) называют уравнениями четырехполюсника с Y-параметрами.

При заданных I₁ и U₂ получаем уравнения с h-параметрами:

(8.4)

где h₁₁ = U₁/I₁, при U₂ = 0 – входное сопротивление при коротком замыкании на выходе;

h₁₂ = U₁/U₂, при I₁ = 0 – коэффициент обратной связи по напряжению;

h₂₁ = I₂/I₁, при U₂ = 0 – коэффициент прямой передачи по току;

h₂₂ = I₂/ U₂, при I₁ = 0 – выходная проводимость при холостом ходе на входе.

Название параметра указывает на способ его экспериментального определения или расчета.

Четырехполюсник в основном используются в системах передачи сигналов. Для анализа прохождения сигналов через четырехполюсник вводятся передаточные функции четырехполюсника.

– коэффициент передачи по напряжению;

– коэффициент передачи по току;

– коэффициент передачи активной мощности;

– полное входное сопротивление;

– полное выходное сопротивление.

Наиболее часто используемыми передаточными функциями являются коэффициент передачи по напряжению, входное и выходное сопротивление.

Если эквивалентная электрическая схема устройства неизвестна, то передаточные функции можно определить экспериментально по результатам измерений. После этого устройство можно использовать в качестве составной части других устройств.

Если эквивалентная электрическая схема устройства известна, то передаточные функции четырехполюсника можно рассчитать теоретически.

Четырехполюсник, коэффициент передачи которого зависит от частоты, называется электрическим частотным фильтром.

Пример 8.1. Найти выражения амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик коэффициента передачи напряжения для четырехполюсника, изображенного на рис. 8.2, а.

Предположим, что сопротивление источника сигнала r_с много меньше входного сопротивления четырехполюсника , а сопротивление нагрузки R_н много больше выходного сопротивления четырехполюсника R. В этом случае можно пренебречь падением напряжения сигнала на сопротивлении источника, тогда , а также ответвлением тока в нагрузку, тогда .

Таким образом, коэффициент передачи напряжения .

В случае выполнения условий и , схему, приведенную на рисунке 8.2, а, можно упростить (рис. 8.2, б).

Учитывая, что ,

. (8.5)

Приводим (5.5) к каноническому виду:

;

. (8.6)

Подставляем в (5.6) характерные значения частот:

;

;

.

По полученным значениям строим АЧХ четырехполюсника (рис. 8.2, в).

Рис. 8.2. RC-фильтр верхних частот первого порядка (а, б) и его АЧХ (в) и ФЧХ (г)

Сдвиг фаз между током I₁ и напряжением U₁ (см. § 4.2) составляет

. (8.7)

Поскольку выходное напряжение U₂ совпадает по фазе с током I₁, сдвиг фаз между выходным и входным напряжениями также можно определить по формуле (8.7).

Подставляем в (5.7) характерные значения частот:

;

;

.

По полученным значениям строим ФЧХ четырехполюсника (рис. 8.2, г).

АЧХ четырехполюсника (рис. 8.2, в) показывает, что сигнал начинает проходить через него с частоты . Частота называется частотой среза. Полоса частот выше частоты среза w_с называется полосой пропускания, а четырехполюсник, приведенный на рисунке 8.2, а, является фильтром верхних частот (ФВЧ). Количество независимых реактивных элементов определяет порядок фильтра.

Пример 8.2. Найти выражения амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик коэффициента передачи напряжения для четырехполюсника, изображенного на рис. 5.3, а.

Рис. 8.3. RC-фильтр нижних частот первого порядка (а) и его АЧХ (б) и ФЧХ (в)

Коэффициент передачи напряжения

,

где – входное сопротивление четырехполюсника;

Х_С = 1/wС – выходное сопротивление четырехполюсника.

;

;

. (8.8)

Подставляем в (8.8) характерные значения частот:

;

;

.

По полученным значениям строим АЧХ четырехполюсника (рис. 8.3, б).

Сдвиг фаз между током I₁ и напряжением U₁ составляет

. (8.9)

Поскольку выходное напряжение U₂ совпадает по фазе с током I₁, сдвиг фаз между выходным и входным напряжениями также можно определить по формуле (8.9).

Подставляем в (5.9) характерные значения частот:

;

;

.

По полученным значениям строим ФЧХ четырехполюсника (рис. 8.3, в).

АЧХ четырехполюсника (рис. 8.3, б) показывает, что сигнал проходит через него, начиная с нуля до частоты среза . Поэтому четырехполюсник, приведенный на рисунке 8.3, а, является фильтром нижних частот (ФНЧ).

Пример 8.3. Найти выражение амплитудно-частотной характеристики коэффициента передачи четырехполюсника, изображенного на рис. 8.4, а.

Рис.8.4. Полосовой RLC-фильтр второго порядка (а) и его АЧХ (б)

Коэффициент передачи напряжения

,

где – входное сопротивление четырехполюсника;

R – выходное сопротивление четырехполюсника.

;

;

. (8.10)

Подставляем в (8.10) характерные значения частот:

;

;

.

По полученным значениям строим АЧХ четырехполюсника (рис. 8.4, б).

АЧХ четырехполюсника показывает, что сигнал проходит через него в полосе частот, геометрическим центром которой является резонансная частота w₀. Поэтому четырехполюсник, приведенный на рисунке 8.4, а, является полосовым фильтром (ПФ). Ширина полосы пропускания фильтра на уровне 0,707 от частоты w_сн до частоты w_св определяется по формуле:

,

где Q_к – добротность контура.

Пример 8.4. Найти выражение амплитудно-частотной характеристики четырехполюсника, изображенного на рис. 8.5, а.

Рис. 8.5. Режекторный RLC-фильтр второго порядка (а) и его АЧХ (б)

Коэффициент передачи напряжения

,

где – выходное сопротивление четырехполюсника;

– входное сопротивление четырехполюсника.

;

;

. (8.11)

Подставляем в (8.11) характерные значения частот:

;

;

.

По полученным значениям строим АЧХ четырехполюсника (рис. 8.5, б).

АЧХ четырехполюсника показывает, что сигнал проходит через него в полосах частот от нуля до частоты w_сн и от частоты w_св до бесконечности. В полосе частот, геометрическим центром которой является резонансная частота w₀, от w_зн до w_зв сигнал (помеха) подавляется. Поэтому четырехполюсник, приведенный на рисунке 5.5, а, является режекторным (заграждающим) фильтром РФ (ЗФ). Его назначение – подавить помеху (нежелательный сигнал). Ширина полосы заграждения определяется по формуле:

.

На функциональных схемах фильтры обозначаются в соответствии с рисунком 8.6.

Рис. 8.6. УГО фильтров

Электрические частотные фильтры широко используются в системах передачи информации для выделения спектра полезного сигнала и подавления помех.