Метод контурных токов

Вообразим, что в трех независимых контурах приведенной на рис. 1.14 электрической цепи имеются токи, замыкающиеся только в этих контурах – контурные токи I 11, I 22, I 33. Тогда в ветвях цепи должны быть справедливыми следующие соотношения между контурными и реальными токами:

I 1 = I 11,

I 2 = I 22 – I 11,

I 3 = I 33 – I 11, (1.1)

I 4 = – I 22,

I 5 = I 33 – I 22,

I 6 = I 33.

Рис. 1.14

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для первого контура, считая направление обхода контура совпадающим с направлением контурного тока I 11:

I 1 R 1 – I 3 R 3 – I 2 R 2 = E 1 – E 3.

Заменим реальные токи I 1, I 2, I 3 на контурные, как это сделано в (1.1), тогда I 11 R 1 – I 33 R 3 + I 11 R 3 – I 22 R 2 + I 11 R 2 = E 1 – E 3.

Сгруппируем. В полученном выражении при токе I 11 будет записана сумма сопротивлений, входящих в первый контур – собственное сопротивление контура, а при токах I 22 и I 33 – взаимные сопротивления между первым и соответственно вторым и третьим контурами.

Аналогично, для второго и третьего контуров можно записать два других уравнения. Получим систему трех уравнений

(1.2)

Из системы уравнений (1.2) находят контурные токи, по которым определяют в соответствии с (1.1) реальные токи.

Общее выражение для случая n -го количества независимых контуров можно записать

. (1.3)

где R 11, R 22, Rnn – собственные сопротивления соответственно первого, второго и n -го контуров, равные сумме всех сопротивлений, входящих в рассматриваемый контур; R 12, R 23, …, Rkm – взаимное сопротивление между соответственно первым и вторым, вторым и третьим, к -м и m –м контурами; E 11, E 22, …, Enn – контурная ЭДС n -го контура, равная алгебраической сумме ЭДС, входящих в рассматриваемый контур.

1.6.1. Алгоритм расчета

1.Определяем количество независимых контуров, используя выражение для нахождения количества уравнений по второму закону Кирхгофа: n II = (в – вJ) – (у – 1).

2. В соответствии с расчетным количеством уравнений составляем систему уравнений в общем виде по типу (1.3).

3. Выбираем независимые контуры, задаемся в них условно положительными направлениями контурных токов.

4. Определяем собственные и взаимные сопротивления, контурные ЭДС. Собственным сопротивлениям Rnn всегда присваивается знак «+», тогда как взаимные сопротивления Rkm войдут в систему уравнений со знаком «+» или «-» в зависимости от того, совпадает ли направление контурного тока рассматриваемого контура с направлением другого контурного тока в ветви с взаимным сопротивлением.

В случае совпадения взаимному сопротивлению присваиваем знак «+».

На практике рекомендуется использовать следующее правило:

если контурные токи выбраны в одном и том же направлении, например, по часовой стрелке, то собственным сопротивлениям контуров присваивается знак «+», тогда как все взаимные сопротивления войдут в систему уравнений со знаком «-».

5. Решаем полученную систему относительно контурных токов.

6. Задавшись произвольно условно положительным направлением токов, находим их по рассчитанным контурным токам.

7. В случае необходимости проводим анализ полученного результата.

1.6.2. Особенности формирования уравнений по методу контурных токов для электрических цепей с источниками тока

Запись уравнений по методу контурных токов в цепях с источниками тока может быть осуществлена из условия, что один из контурных токов известен и равен току источника тока (рис. 1.15).

Рис. 1.15

(1.4)

Другой способ формирования уравнений заключается в том, что можно составить уравнения после эквивалентного преобразования источника тока в источник ЭДС, как показано на рис. 1.16.

Рис. 1.16

(1.5)

Системы уравнений (1.4) и (1.5) тождественны, следовательно, оба приведенных подхода к составлению уравнений по методу контурных токов для электрических цепей с источниками тока могут быть использованы на практике.