Кольцо эндоморфизмов линейного пространства

Св-во 15.13. End(V) замкуто относительно операции композиции отображений End(V)и является – моноидом. Док-во. Когда End(V) тогда f: V V, g: V V, значиться указана композиция : V V. По свойству 8.2 - линейное отображение, значиться End(V). Ассоциативность операции следует из ассоциативности композиции отображений. Нейтральным элементам является тождественное отображение.■

Св-во.16.14. Калі dim(V)=n, End(V) і маюць у базісе (1) адпаведныя матрыцы тады мае ў базісе (1) матрыцу . Доказ. Когда произвольный вектор и вектор і имеют в базисе (1) столбцы координат X, и Y соответственно, тогда, по теореме 11.5 , откуда следует, что . Из единственности матрицы линейного оператора следует, что – матрица оператора в базисе (1).■

Св-во.16.15. End(V) относительно операций сложения операторов и композиции операторов является кольцом с единицей. Доказ. Поскольку большая часть свойств доказана в 16.4 и 16.13, надо доказать выполнение условий дистрибутивности. Докажем, что : V