Первая серия вкладышей: квадраты, фигуры, состоящие из отдельных частей

Эта серия состоит из 9 квадратных вкладышей, в основе которых есть углубления — одинаковые белые квадраты со стороной 10 см. В одно углубление вложен целый квадрат, в другие — те же квадраты, но состоящие из отдельных частей:

– квадрат, состоящий из 2 равных прямоугольников;

– квадрат, состоящий из 4 равных прямоугольников;

– квадрат, состоящий из 8 равных прямоугольников;

– квадрат, состоящий из 16 равных прямоугольников;

– квадрат, состоящий из 2 равных треугольников;

– квадрат, состоящий из 4 равных треугольников;

– квадрат, состоящий из 8 равных треугольников;

– квадрат, состоящий из 16 равных треугольников.

Ребенок может взять квадрат, состоящий из 2 равных прямоугольников, и квадрат, состоящий из 2 равных треугольников, поменять местами части фигур, то есть первый квадрат заполнить двумя треугольниками, а второй — прямоугольниками. Части фигур можно наложить друг на друга внутренней стороной (на внешней будут мешать кнопки, которые нужны для удобства доставания фигуры из рамки). Наложение позволяет установить равенство фигур. Однако треугольник и прямоугольник — разные по форме фигуры, хотя каждая из них составляет ровно половину того же самого квадрата. Так рождается ощущение равенства площади фигур. Два треугольника равны между собой, и два прямоугольника равны между собой. Ученик сравнивает их, накладывая фигуры друг на друга, и замечает, что часть треугольника, выходящая за пределы прямоугольника, равна той части треугольника, которая прикрыта прямоугольником. Следовательно, треугольник и прямоугольник отличаются по форме, но равны по площади.

Аналогичные наблюдения повторяются и с другими квадратами, разделенными на большее количество частей. Квадратики, являющиеся четвертой частью большого квадрата (они получились в результате деления фигуры по медианам), равны между собой и равны по площади треугольникам, возникшим в результате деления большого квадрата по диагоналям. Фигуры, одинаковые по форме, но отличающиеся по размеру, являются подобными. Прямоугольник — половина большого квадрата, подобен прямоугольнику, являющемуся ¹/₈ большого квадрата, при этом они не равны между собой, у них разная площадь. Также подобны друг другу большой квадрат и маленький, четвертушка большого. И т. д.

В разделении квадрата на части уже содержится идея дроби, хотя это пока еще не тот материал, который специально предназначен для изучения дробей.