N-мерное векторное пространство действительных чисел. Математическая часть

Вектором размерности называется упорядоченная последовательность действительных чисел . Числа называются координатами вектора .

Два вектора и одинаковой размерности называются равными, если они равны покоординатно: Вектор называется нулевым. Длиной вектора называется число

Операции над векторами

1. Сложение векторов одинаковой размерности: суммой двух векторов и называется вектор

2. Умножение вектора на скаляр: произведением вектора на действительное число (скаляр) называется вектор

3. Скалярное произведение двух векторов одинаковой размерности: число называется скалярным произведением двух векторов и и будет обозначаться Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0.

Теорема 1.1 (основные свойства операций над векторами):

1.

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7.

Докажем второе, пятое и шестое свойства. Пусть , , . Тогда =

;

Аналогично доказывается, что .

Так как , то

Теорема 1.2.

Доказательство. Пусть . Тогда

Так как , то

откуда and . Теорема доказана.

Определение. Множество всех векторов размерности n, в котором заданы операции сложения векторов и умножения векторов на скаляры, называется n-мерным векторным пространством действительных чисел и обозначается .

Определение. Вектор представим в виде линейной комбинации векторов с коэффициентами , если . Если при этом не все коэффициенты равны нулю, то такую линейную комбинацию будем называть ненулевой комбинацией; если же все (и, следовательно, ), то такую линейную комбинацию будем называть нулевой.

Определение. Система векторов V из называется линейно независимой, если нулевой вектор из не может быть представлен в виде ненулевой комбинации векторов из V. В противном случае система V называется линейно зависимой. Другими словами, в случае линейно независимой системы векторов из равенства следует, что все коэффициенты в случае линейно зависимой системы из того же равенства вытекает существование такого набора коэффициентов, среди которых есть хотя бы один ненулевой.

Пример. Если , , то непосредственно проверяется равенство Выполнение этого равенства означает, что система векторов , линейно зависима.

Если система векторов В включает в себя все векторы системы А, то А называется подсистемой В.

Теорема 1.3. Если система векторов В содержит линейно зависимую подсистему векторов А, то В также линейно зависима.

Доказательство. Пусть , . Так как А линейно зависимая система, то нулевой вектор представим в виде ненулевой комбинации векторов из А: . Но тогда , что означает линейную зависимость системы векторов В. Теорема доказана.

Следствие 1.1. Любая подсистема векторов линейно независимой системы векторов линейно независима.

Теорема 1.4. Пусть линейно независимая система векторов А после добавления нового вектора В стала линейно зависимой системой . Тогда вектор представим в виде лингейной комбинации векторов из А.

Доказательство. Пусть . Ввиду линейной зависимости системы векторов нулевой вектор представим в виде ненулевой комбинации Если , то , где не все равны 0, что противоречит линейной независимости системы векторов А. Поэтому , откуда . Теорема доказана.

Определение. Максимально возможное число векторов в линейно независимой подсистеме системы векторов V называется рангом системы V.

Очевидно, ранг линейно независимой системы векторов равен числу векторов в этой системе.

Элементарными преобразованиями системы векторов называются:

- умножение любого вектора этой системы на ненулевое число (элементарное преобразование типа 1);

- прибавление к одному из векторов системы любого другого вектора этой системы, умноженного на произвольное число (элементарное преобразование типа 2).

Теорема 1.5. Элементарные преобразования сохраняют линейную независимость или линейную зависимость системы векторов.

Доказательство. Докажем эту теорему только для элементарных преобразований типа 2. Пусть , а система В получается из А в результате прибавления к первому вектору второго вектора, умноженного на число , т.е. . Очевидно, равенства

и

равносильны, поскольку любое из них вытекает из другого, причем из равенства нулю в одном из них (например, ) вытекает равенство коэффициентов в другом (). Теорема доказана.

Теорема 1.6. Система векторов, состоящая из единственного ненулевого вектора линейно независима.

Теорема 1.7. Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Следующая система векторов называется лестничной:

…………………………………….

.

Теорема 1.8. Лестничная система векторов линейно независима.

Доказательства теорем 1.6 - 1.8 очевидны.

Теорем1.9. Если число векторов в линейно независимой подсистеме А системы векторов В равно рангу В, то любой вектор из В представим в виде линейной комбинации векторов из А.

Доказательство. Пусть - произвольный вектор из В. Если , то все очевидно. Если , то система векторов будет линейно зависимой по определению ранга. Тогда выполняются условия теоремы 1.4, из которой и следует искомое утверждение.

Теорема 1.10. С помощью элементарных преобразований можно переставить местами любые два вектора системы векторов.

Доказательство. Следующая цепочка систем векторов показывает последовательность элементарных преобразований, которые меняют местами векторы и в начальной системе векторов :

, , ,

, . Теорема доказана.