Основы курортологии 3 страница

В этом случае вероятности представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и её сумма

.

ТЕОРЕМА. В случае случайной величины, имеющей геомет- рическое распределение с параметром , математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам:

Пример. Производятся выстрелы по мишени до первого попа- дания. Вероятность попадания при каждом выстреле .

Составить ряд распределения случайной величины - «чис- ло попаданий». Найти её математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

По теореме,

среднее квадратическое отклонение

4.4 Гипергеометрическое распределение.

Пусть в партии из изделий имеется стандартных. Случайным образом отбирают изделий. Пусть случайная величина - число стандартных изделий среди отобранных. Очевидно, озможные значения этой случайной величины:

Вероятности возможных значений вычисляются по формуле:

Для этой случайной величине математическое ожидание вы- числяется по формуле а дисперсия:

Пример. В урне находится 5 белых и 3 чёрных шара. Слу- чайным образом отобраны 3 шара. Составить ряд распределе- ния случайной величины - числа белых шаров среди ото –бранных. Найти её математическое ожидание и дисперсию.

Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, 3. найдём их вероятности:

Получаем ряд распределения:

Математическое ожидание можно вычислить непосредственно, пользуясь известными формулами, а можно воспользоваться формулами из теоремы. В нашем примере

. Тогда

Теперь рассмотрим основные законы распределения непре- рывных случайных величин.

4.5 Равномерное распределение.

Определение. Непрерывная случайная величина имеет рав -номерное распределение на отрезке , если она имеет постоянное значение на этом отрезке и равна нулю вне этого отрезка, т.е. график её плотности имеет вид:

С

Так как площадь под графиком плотности распределения должна быть равна единице, то Тогда

Её функция распределения имеет вид:

и её график

4.6 Показательное распределение.

В практических приложениях теории вероятностей (напри-

мер, в сфере массового обслуживания, исследовании опера -ций, теории надёжности, в физике, биологии и т.п.) часто при- ходится иметь дело со случайными величинами, имеющими так называемое экспоненциальное, или показательное распре- деление.

Определение. Непрерывная случайная ыеличина рас- пределена по показательному закону, если её плотность распределения вероятностей имеет вид:

График этой функции:

0

Её функция распределения:

имеет график

О

Математическое ожидание:

Пример. Пусть случайная величина - время работы не- которого механизма, имеет показательное распределение. Оп- ределить вероятность того, что механизм будет работать не менее 1000 часов, если среднее время его работы составляет 800 часов.

По условию задачи, математическое ожидание работы меха- низма , а . Тогда

Следовательно,

Искомая вероятность:

Замечание. Показательное распределение относится к од -нопараметрическим законам распределения (зависит только от ).

4.7 Нормальное распределение.

Определение. Нормальным называют распределение вероят- ностей непрерывной случайной величины, которое имеет плот- ность распределения вероятностей, определяемую формулой:

(1)

Видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: и . Чтобы задать нормальное распре -деление, достаточно задать эти два параметра.

Нормальный закон распределения очень широко распро- странён в задачах практики. Он проявляется в тех случаях, когда случайная величина является результатом действи- ем большого числа различных факторов. Каждый фактор в отдельности влияет на случайную величину незначительно и нельзя сказать, какой из них влияет в большей степени, чем остальные. Примерами случайных величин, имеющих нормаль- ное распределение, можно считать: отклонение размеров дета- лей, изготовленных станком, от стандартных; ошибки при из -мерении; отклонения при стрельбе по мишени и т.п.

Основной закономерностью, выделяющей нормальный закон из остальных законов, является та, что он является предель -ным законом, к которому приближаются другие законы, т.е. при достаточно большом значении сумма независимых слу- чайных величин , подчинённых каким угодно законам распределения, будет иметь распределение, сколь угодно близкое к нормальному.

Функция распределения нормально распределённой случай –ной величины имеет вид

(2)

По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,

Введём новую переменную

Принимая во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

Первой слагаемое равно нулю, как интеграл по симметрич -ному промежутку от нечётной функции. Второе из слагаемых равно (интеграл Пуассона ).

Таким образом, математическое ожидание нормально рас- пределённой случайной величины

По определению дисперсии непрерывной случайной величи- ны, учитывая, что , получим

Снова введём новую переменную

Получим Применив формулу интегрирования по частям и предыдущие вычисления, получа- ем Тогда Следовательно, вторым параметром нормального распределения является сре- днее квадратическое отклонение.

Замечение. Нормированным называют нормальное распре –деление с параметрами Плотность нормиро -ванного распределения задаётся функцией:

(3)

значения которой можно либо найти непосредмьвенно, либо воспользоватся соответствующими таблицами, которые можно найти во всех справочниках. Функция нормированного распре –деления имеет вид . Тогда функция общего нормального распределения, заданная т формулой (2), выражается формулой . Вероятность попа- дания нормированной нормально распределённой случайной величины в интервал определяется с помощью функции Лапласа , значения которой также приведены в таблицах. В самом деле,

Учитывая, что (по свойству плотности распре- деления,), в силу симметрии функции относительно точ- ки :

Тогда

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса.

Исследуем функцию:

Она определена на всей числовой прямой и положительна для всех . При неограниченном возрастании данная функция стремится к нулю, т.е. Производная этой функции .

Производная равна 0 в точке и меняет в этой точке знак с «+» на «-», т.е. - точка максимума и в этой точке . Найдя вторую производную функции, можем выяснить, что график функции имеет перегибы в точ- ках . Схематически график выглядит следующим образом:

0

Для нормально распределенной случайной величины ве- роятность попадания в заданный интервал вычисля –ется следующим образом:

Сделаем замену .

где .

Таким образом,

(4)

Пример. Масса вагона - случайная величина, распределён -ная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т. и средним квадратическим отклонением т. Найти веро- ятность того, что очередной вагон имеет массу не более 70 т. и не менее 60 т

Тогда

Иногда требуется вычислить вероятность того, что случай -ная величина по модулю отклоняется от среднего значения меньше чем некоторое значение , т.е. . Для вычисления этой вероятности можем воспользоваться предыдущей формулой. В самом деле:

учитывая нечётность функции . Следовательно,

(5)

Пример. Вероятность того, что нормально распределённая случайная с математическим ожиданием откло- нится от среднего значения меньше чем на равна 0.09. Чему равна вероятность попадания этой случайной величины в интервал (30, 35)?

По условию, Тогда По таблице значений функции Лапласа, по – лучаем: Тогда требуемая вероятность, по формуле (4),

Правило трёх сигм.

В формуле (5) положим , получим

Если и, следовательно, , получаем:

т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине случайной величины от среднего значения меньше утроенного среднего квадратического отклонения равна 0,9973, т.е. очень близка к единице.

Правило трёх сигм состоит в том, что для нормально рас- пределённой случайной величины абсолютная величина её -отклонения от среднего не превосходит утроенного сред -него квадратического отклонения. На практике это правило применяется слудующим образом: Если распределение слу -чайной величины неизвестно, но для её параметров выпол -няется правило трёх сигм, то есть основание предположить, что она распределена по нормальному закону.

§ 5. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ

ТЕОРЕМЫ.

Известно, что нельзя заранее предсказать, какое именно значение примет случайная величина в результате некоторого испытания, так как это зависит от очень многих случайных причин, учесть влияние которых невозможно. Но оказывается, что при некоторых условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случай -ный характер и становится закономерным.

Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академи- ка А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов (при некоторых общих условиях) приво – дит к результату, почти независимому от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестаёт быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определённости.

Приведём без доказательства несколько теорем, в которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определённым посто -янным.

5.1 Неравенство Маркова (лемма Чебышева).

ТЕОРЕМА. Если случайная величина принимает только положительные значения с некоторым математическим ожида –нием , то для любого положительного числа выполня - ется неравенство:

Или, то же неравенство Маркова в другой форме:

Неравенства Маркова применимы для любых неотрицатель- ных случайных величин.

Пример. Сумма всех вкладов в некотором отделении сбер- банка составляет 4 млн. рублей, а вероятность того, что слу -чайно выбранный вклад не превышает 40 тыс. рублей, равна 0,7. Что можно сказать о числе вкладчиков?

Пусть - величина случайно выбранного вклада, а - число всех вкладов. Тогда, по условию задачи, (тыс. рублей). Тогда, по второму неравенству Маркова,

, или .

Так как , то , или , т.е. число вкладчиков не более 333.

5.2 Неравенство Чебышева.

ТЕОРЕМА. Для любой случайной величины, имеющей мате- тическое ожидание и дисперсию при выполняется неравенство: , (1)

или соответственно, (2)

Пример. Средний расход электроэнергии на некотором предприятии равен 2000 кв. в день, а среднее квадратическое отклонение расхода не превосходит 400 кв. Используя нера -венство Чебышева, оценить вероятность того, что в любой день расход электроэнергии не превзойдёт 4000 кв.

В данном случае дисперсия . Так как границы интервала симметричны относительно математического ожидания , то для оценки требу- емой вероятности можно использовать неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева применимо для любых случайных величин. В форме (1) оно устанавливает верхнюю, а в фор- ме (2) нижнюю границу вероятности рассматриваемого со- бытия.

Если мы рассматриваем дискретную случайную величину , принимающую значения ,

вероятности каждого из которых вычисляются по формуле Бернулли, т.е. имеющую биномиальное распределение, то , , и неравенство Чебышева приоб- ретает вид: (3)

Для частоты события в серии из независимых испы- таний, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью , и имеющей дисперсию , вероятность отклонения относительной частоты события от его вероятности оценивается с помощью формулы:

Пример. Вероятность появления события в каждом незави -симом испытании равна 0,4. Используя неравенство Чебышева,

Оценить вероятность того, что при 100 независимых испыта –ниях число появлений события заключено в промежутке от 30 до 50.

. Требуемое число появлений события представляет собой про -межуток, симметричный относительно математического ожи –дания. Тогда . По формуле (3) получаем .