Аксиоматическое поле действительных чисел

Рассмотрим множество элементов. На нем заданы две бинарные операции, одну из которых назовем сложением, а другую умножением. И пусть на этом множестве задано отношение порядка. Пусть само множество, операции и отношения на нем обладают следующими свойствами:

1. Операция сложения. Обозначим ее “+”.

1) " а и b: a + b = b + a (коммутативное свойство);

2) " a, b и c: a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативное свойство);

3) $ число 0, для " а: а + 0 = а (существует нейтральный элемент по сложению, который называется ноль или нуль и который обозначим через 0);

4) " а, $ b: а + b = 0, b называется противоположным числом к а. Будем обозначать его (- b).

2. Операция умножения. Обозначим ее “*”.

1) " а, b: ab = ba (коммутативное свойство);

2) " a, b и c: a (bc) = (ab) c (ассоциативное свойство);

3) $ элемент (обозначим его 1) такой, что для " а ¹ 0: а 1 = а (существование нейтрального элемента по умножению)

4) " а ¹ 0, $ b: ab = 1 (существование обратного элемента), где элемент b обозначим как а ^-1 или (1/ а).

3. Операции сложения и умножения связанысвойством дистрибутивного (распределительного) закона: " a, b и c: (a + b) c = aс + bc.

Упражнение: Доказать, что а 0 = 0.

4. Упорядоченность. Бинарное отношение ≥ является отношением линейного порядка, т.е. отношение “³” обладает свойствами:

1) рефлексивность;

2) " a и b из того, что a ³ b и a £ b Þ a = b (антисимметричность);

3) " a и b, a ³ b и b ³ c Þ a ³ с (транзитивность), кроме того, операция сложения связана с тем, что для " a, b, c и a ³ b Þ a + c ³ b + c;

3) " a, b и из того, что a ³ 0, b ³ 0 Þ ab ³ 0.

5. Аксиома Архимеда. " a, b, $ n, что na > b. Эта аксиома позволяет утверждать, что ни при каких nn *1 ¹ 0.

Определение 1 два множества А Ì R и B Ì R называются сечением множества действительных чисел R, если:

1°) A È B = R (т.е. каждое действительное число принадлежит хотя бы одному из множеств А и В);

2°) A ¹ Æ и B ¹ Æ;

3°) каждое число множества А меньше любого числа множества В: если а Î A, b Î В, то a < b (из этого свойства следует, что A Ç B = Æ, т.к. если бы нашелся такой х Î A Ç B Þ х Î A и х Î B, то из 3°) следовало бы, что х < х).

Множество А называется нижним, а В – верхним классом данного сечения.

Пример. Зафиксируем какое-либо число a Î R, отнесем сначала к множеству А все числа х £ a, а к множеству В – все числа y > a: А = { x: х £ a }, B = { y: y > a } (1). Можно поступить иначе: отнести к множеству А все числа х < a, а к множеству В – все числа y ³ a: А = { x: х < a }, B = { y: y ³ a} (2). В обоих случаях А и В образуют сечения. Сечение производится некоторым числом a и записывают в виде a = A ½ B.

Отметим два свойства сечений производящихся некоторым числом:

1°. В случае (1) в классе А есть наибольшее число, им является число a, а в классе В нет наименьшего числа. В случае (2) в классе А нет наибольшего, а в классе В есть наименьшее число, им является число a.

2°. Число, производящее сечение, единственно.

6. Непрерывность. Для каждого сечения А ½ В множества действительных чисел $ число a, производящее это сечение, a = A ½ B.

Свойство непрерывности состоит в том, что никаких других сечений действительных чисел, кроме тех, которые производятся некоторым числом, не существует.

Определение 2 Нетривиальное множество элементов, обладающих свойствами 1. – 6., называется множеством действительных чисел (R). Каждый элемент этого множества называется действительным числом.

Операции на множестве действительных чисел и их свойства.

Для любой упорядоченной пары чисел а Î R и b Î R число а + (-b) называется разностью чисел a и b, и обозначается через (a – b), т.е. a – b = a + + (- b).

Если a + b = c, то, прибавляя к обеим частям этого равенства число (- b), получаем (a + b) + (- b) = c + (- b). Отсюда, согласно ассоциативному закону сложения, следует a + (b + (- b)) = c – b.

Таким образом, после прибавления к числу а числа b число а восстанавливается вычитанием из суммы a + b числа b, поэтому операция вычитания называется операцией обратной операции сложения.

Перейдем теперь к свойствам сложения действительных чисел:

1). Число, обладающее свойством нуля, единственно.

Доказательство: Пусть $ два нуля – 0 и 0¢Þв силу 1.3): 0¢ + 0 = 0¢, 0 + 0¢ = 0. Согласно коммутативному закону сложения левые части этих равенств равны Þ равны и правые, т.е. 0 = 0¢.

2). Число, противоположное данному, единственно.

Доказательство:

Пусть числа b и с противоположны некоторому числу а, т.е. a + b = 0 и c + b = 0. Тогда имеем (a + b) + c = 0 + c, т.е. (a + b) + c = c Þ (a + c) + b = c, но а + с = 0 Þ b = c.

3) Для любого числа а справедливо равенство: - (- а) = а.

Доказательство:

а = (- а) Þ - а + а = 0 Þ а = - а.

4) Для любого числа а справедливо равенство а – а = 0.

5) Для любых чисел а и b имеем: - a – b = - (a + b), т.е. число, противоположное сумме двух чисел, равно сумме противоположных им чисел.

6) Уравнение a + x = b имеет в R решение и притом только единственное: x = b – a.

Упражнение: Докажите самостоятельно свойства 4) - 6).

Для операции умножения также существует обратная операция – деления и определяется следующим образом: для любой упорядоченной пары чисел a и b, b ¹ 0. Число a * 1/ b называется частным от деления a на b и обозначается через a / b, т.е. a / b = (a *1/ b), b ¹ 0.

Свойства, аналогичные свойствам 1) – 6) для сложения, справедливы и для операции умножения:

7) Число, обладающее свойством единицы, единственно.

8) Число, обратное данному, отличное от нуля, единственно.

9) Для любого числа а ¹ 0 справедливо равенство 1/(1/a) = a.

10) Для любого числа а ¹ 0 справедливо равенство а/a = 1.

11) Для любых чисел а ¹ 0 и b ¹ 0 имеем равенство (1/а)(1/b) = 1/(ab) (т.е. число, обратное произведению двух чисел, отличных от нуля, равно произведению обратных к ним чисел).

12) Уравнение ax = b, а ¹ 0 имеет в R решение и притом только единственное.

Упражнение: Докажите самостоятельно свойства 7) - 12). Доказываются свойства аналогично свойствам 1) - 6).

Отметим теперь несколько свойств, касающихся операций сложения и умножения:

13) Для любых чисел a, b и с имеет место равенство a (b - c) = ab – ac.

Доказательство: a (b – c) = a (b – c) + ac – ac = a (b – c + c) – ac = ab – ac.

14) Для любого числа а выполняется равенство а*0 = 0.

Из этого свойства вытекает, что утверждение 1 ¹ 0 при наличии других рассматриваемых свойств 1. – 3. эквивалентно тому, что существует хотя бы одно число, отличное от нуля. Достаточно показать, что если существует число a ¹ 0, то 1 ¹ 0 (доказательство: пусть $ а ¹ 0, тогда из равенства а *1 = а Þ 1 ¹ 0, т.к. в противном случае согласно свойству 14) имело бы место равенство а = 0).

15) Если ab = 0, то, по крайней мере, один из сомножителей а и b равен нулю.

Доказательство: Пусть а ¹ 0 Þ умножав равенство ab = 0 на 1/ a, получим (1/ a)(ab) = = (1/ a)*0 Þ ((1/ a)* a) b = 0 Þ b =0.

16) Для любых чисел a и b имеем: (-a)b = - ab, (-a)(-b) = ab; в частности (-1)а = -а.

17) Равенство a/b = c/d, b ¹ 0, d ¹ 0, справедливо тогда и только тогда, когда ad = bc.

Следствие (основное свойство дроби):

Каковы бы ни были дробь a/b, b ¹ 0, и число с ¹ 0, имеет место равенство a/b = ac/bc.

Доказательство: Умножим обе части a / b = c / d на bd и используя определение деления получим цепочку эквивалентных равенств: a / b = c / d Û Û (a / b) bd = (c / d) bd Û a (1/ b) bd = c (1/ d) bd Û ad = cb.

18) Сложение дробей производится по правилу (a/c) + (b/d) = (ad+ bc)/ /(cd), c¹0, d¹0.

19) Умножение дробей производится по правилу (a/b)(c/d) = (ac)/(bd).

20) Обратным элементам дроби a/b, a ¹ 0, b ¹ 0 является дробь b/a, т.е. (a/b)(b/a) = 1.

21) Деление дробей производится по правилу (a/c):(c/d) = (ad)/(bc), b ¹ 0, c ¹ 0, d ¹ 0.

22) Если m и n целые числа, причем в случае, когда m £ 0 или n £ 0 имеет место а ¹ 0, то a^maⁿ = a^m+n, (a^m)ⁿ = a^mn.

Упражнение: Докажите самостоятельно свойства 14), 16), 17) – 22).

Определение 3 Множества удовлетворяющие свойствам 1. – 3. и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называются полями.

Примером множеств иллюстрирующих это определение являются рациональные числа, действительные числа, комплексные числа, рациональные функции (т.е. функции вида f (x) = P (x)/ Q (x), где P (x) и Q (x) - многочлены).

Проанализируем теперь свойства, выделяющие поле действительных чисел среди всех других полей. Одним из таких свойств является свойство упорядоченности его элементов.

Введем некоторые следствия из свойств упорядоченности и свойств сложения и умножения. Прежде всего, определим понятие сравнение по величине для любых двух чисел (при этом в свойстве 4. говорилось о сравнении чисел только с нулем).

Определение 4 Число а называется числом, большим числа b, и пишется a > b, или, то же, число b называется меньшим числа а и пишется b < a, если a – b > 0.

Свойства:

1°. Если a > b и b > c, то a > c (транзитивность).

Доказательство: Если a > b и b > c, то согласно определению это означает, что a – b > 0 и b – c >0. Складывая эти неравенства, получаем:(a – b) + + (b - c) > 0, т.е. a – c >0 Þ a > c.

2°. Если a > b, то для любого числа с имеем: a + c > b + c.

Доказательство:

Неравенство a > b означает, что a - b > 0. По свойству 5) сложения действительных чисел получаем: a – b = a + c – c – b = (a + c) – (b + c), то (a + + c) – (b + c) > 0 Þ a + c > b + c.

3°. Для любых двух чисел a и b имеется в точности одно из трех соотношений порядка a > b, a = b и a < b.

Доказательство:

Пусть есть два числа a и b. Для их разности a – b согласно свойству 4. имеет место в точности одно из соотношений a – b > 0, a – b = 0 или 0 > a – b. Если a – b > 0, то по определению a > b. Если a - b =0, то, прибавив к обеим частям равенства число b, получим a = b. Наконец, если 0 > a – b, то прибавив последовательно к обеим частям неравенства 0 > a – b числа - a и b (см. предыдущее доказательство), получим b – a > 0. Это и означает, что b > a, или, что то же, a < b.

Наличие транзитивного отношение порядка «<», «>» между любыми двумя числами называется обычно свойством упорядоченности действительных чисел, или отношением порядка.

Запись a £ b равнозначна записи b ³ a и означает, что либо a = b, либо a < b. Например, можно написать 3 £ 3, 1 £ 5. Конечно, можно написать более точно: 3 = 3, 1 < 5, однако неравенства 3 £ 3, 1 £ 5 также верны, так как означают, что “два не больше двух”, и, что ”один не больше пяти”.

Соотношения a < b, a £ b, a > b, a ³ b называются неравенствами. Неравенства a < b, a > b называются строгими неравенствами.

4°. Если а > b,то - a < - b. В частности, если a > 0,то - a < 0, а если a < 0, то - a > 0.

5°. Если a < b и c £ d, то a + c < b + d, т.е. можно производить почленное сложение неравенств одного знака.

6°. Если a < b и c ³ d, то a – c < b – d, т.е. неравенства противоположных знаков можно вычитать в указанном смысле.

7°. Если a < b и c < 0, то ac > bc.

Из свойства 7°. (при a = 0) и из свойства 4. вытекает правило знаков при умножении действительных чисел: произведение двух сомножителей одного знака (либо одновременно положительных, либо одновременно отрицательных) положительно, а произведение двух сомножителей разных знаков (один из них положительный, другой отрицательный) отрицательно.

8°. В упорядоченном поле всегда справедливо неравенство 1 > 0.

Доказательство:

Как было уже выше сказано в замечании к свойству 14), что из условия существования элемента а ¹ 0 (это условие входит в определение поля) следует, что 1 ¹ 0. Покажем, что неравенство 1 < 0 невозможно. Пусть 1 < 0, возьмем " а *1 = а. По правилу знаков произведения положительного числа а и отрицательного (по предположению) 1 является отрицательным числом, т.е. а < 0 – противоречие.

Определение 5 Множества, для которых справедливы аксиомы 1. – 4 ., называются упорядоченными полями.

Пример. Примером упорядоченного поля, отличного от поля действительных чисел, является поле рациональных чисел. Однако ни поле комплексных чисел, ни поле рациональных функций не являются упорядоченным полем.

Рассмотрим теперь свойство непрерывности, которое выделяет поле действительных чисел среди всех прочих упорядоченных полей.

Определение 6 Упорядоченное поле удовлетворяющее свойству 5. называется непрерывным упорядоченным полем.

Пример. Поле рациональных чисел уже не является непрерывным упорядоченным полем: в нем имеются сечения, которые не определяются никаким рациональным числом. Но можно показать, что если к верхнему классу В отнести все положительные рациональные числа m/n, удовлетворяющих неравенству (m / n)² > 2, а к нижнему классу все остальные рациональные числа, то получится сечение рациональных чисел А ½ В, которое не определяется никаким рациональным числом. Оказывается, что множество всех действительных чисел является в некотором смысле единственным непрерывным упорядоченным полем.

Определение 8 Множеством действительных чисел называется непрерывное упорядоченное поле.