Лінійні операції над векторами

Лінійними операціями над векторами називають додавання і множення векторів на число.

Нехай і – два довільні вектори (рис. 5.2). Тоді вектор називається сумою векторів і та позначається . Це правило додавання векторів називають правилом трикутника.

Суму двох векторів можна знайти і за правилом паралелограма (рис. 5.3).

Під сумою трьох векторів розуміють вектор, отриманий послідовним додаванням даних векторів: .

Аналогічно визначається сума п векторів.

Різницею векторів і називається вектор, рівний сумі векторів і : .

Відмітимо, що в паралелограмі, побудованому на векторах і , одна направлена діагональ є їх сумою, а інша – різницею (рис. 5.4).

Добутком вектора на число називається вектор або , довжина якого рівна , має напрямок вектора ,якщо і протилежно направлений, якщо .

З означення добутку вектора на число випливають властивості цього добутку:

1) якщо , то і навпаки, якщо , то при деякому вірна рівність ;

2) , тобто кожний вектор рівний добутку його модуля на орт.

Властивості лінійних операцій над векторами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Ці властивості дозволяють проводити перетворення в лінійних операціях над векторами так, як це робиться в алгебрі: доданки міняти місцями, вводити дужки, групувати, виносити за дужки як скалярні, так і векторні множники.