Приріст функції в точці. Похідна функції та її механічний зміст

Поняття похідної – фундаментальне поняття математичного аналізу, за допомогою якого досліджують процеси і явища в природничих, соціальних і економічних науках. Вивчення різних процесів (механічного руху, хімічних реакцій, розширення рідини при нагріванні, значення електричного струму та ін.) приводять до необхідності обчислення швидкості зміни різних величин, тобто до поняття похідної.

Нехай задано функцію на деякому проміжку. Візьмемо довільну внутрішню точку даного проміжку, надамо аргументу довільного приросту (число може бути як додатним, так і від’ємним), але такого, щоб точка належала даному проміжку, тоді приростом функції називається різниця .

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто

.

Щоб знайти похідну функції за означенням треба:

1) незалежній змінній надати приросту ;

2) знайти приріст функції - ;

3) знайти відношення ;

4) знайти .

Приклад 1. Знайти похідну функції в точці .

Розв’язання

1) незалежній змінній надаємо приросту ;

2) знаходимо приріст функції

3) знаходимо відношення

4) знаходимо границю

Таким чином , а .

Відповідь: 12

Приклад 2. Знайти похідну функції .

Розв’язання

1) незалежній змінній надаємо приросту ;

2) знаходимо приріст функції

3) знаходимо відношення

4) знаходимо границю

Відповідь: .

Якщо матеріальна точка рухається прямолінійно, нерівномірно і її координата змінюється за законом , то миттєва швидкість цієї точки в момент часу дорівнює похідній :

.