Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Задание 1. Даны вершины А (–1; 0), В (5; 2), С (2; 4) треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение медианы CM, проведенной из вершины С; 3) уравнение высоты СH, проведенной из вершины С; 4) уравнение прямой L, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; 5) длину высоты СH; 6) величину внутреннего угла А. Сделать чертеж.
Решение. Изобразим заданный треугольник в декартовой системе координат Oxy.
1) Длину стороны АВ найдем, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости: .
Подставляя в нее координаты точек А (–1; 0) и В (5; 2), получим: (ед.).
2) По определению медианы точка М медианы CМ делит сторону АВ пополам. Следовательно, ее координаты определяются по формулам деления отрезка пополам:
, .
Таким образом, найдена точка М (2; 1).
Уравнение медианы CМ найдем как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки C и М, по формуле: или , или .
По свойству пропорции отсюда следует уравнение CМ:
или .
3) Уравнение высоты СH как прямой, проходящей через точку С перпендикулярно стороне АВ, будем искать в виде , где угловой коэффициент найдем из условия перпендикулярности прямых СH и АВ: .
Угловой коэффициент определим, используя формулу углового коэффициента прямой: . Следовательно, .
Уравнение высоты примет теперь вид: или .
4) Аналогично, уравнение прямой L, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ, будем искать в виде: , где угловой коэффициент прямой L найдем из условия параллельности прямых L и AB: .
Уравнение прямой L примет вид: или .
5) Длину высоты СН найдем, используя формулу расстояния от точки С до прямой АВ: , где есть общее уравнение стороны АВ.
Найдем уравнение стороны АВ: или , или .
Подставляя в найденное уравнение координаты точки С, получим: (ед.).
6) Из рисунка видно, что внутренний угол А треугольника АВС есть угол, на который нужно повернуть сторону АВ в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки) до совмещения ее со стороной АС. Поэтому тангенс угла А найдем по формуле: .
Угловой коэффициент (найден в п. 3). Аналогично найдем . Следовательно, , тогда (рад.).
Ответ: 1) длина стороны АВ: ед.; 2) уравнение медианы CМ: ; 3) уравнение высоты СН: ; 4) уравнение прямой L: ; 5) длина высоты СН: ед.; 6) величина внутреннего угла А: рад.
Задание 2. Составить уравнение и построить линию, для каждой точки которой выполняется следующее условие: отношение расстояний до точки F (–1; 0) и прямой равно .
Решение. Сделаем схематический чертеж по условию задачи.
1) Предположим, что М (x; y) – текущая точка искомой линии. Тогда точка N (–4; y) является ее проекцией на прямой x = –4.
2) По условию задачи выполняется следующее отношение расстояний: или .
3) Используя формулу расстояния между двумя точками, выразим полученное буквенное равенство в координатной форме и преобразуем его к виду канонического уравнения одной из кривых второго порядка (окружности, эллипса, гиперболы или параболы):
Получили каноническое уравнение эллипса: , у которого полуоси есть и .
4) Построим линию по ее уравнению.
Ответ: эллипс.
Задание 3. Написать разложение вектора по векторам , , .
Решение. Требуется представить вектор в виде , где a, b и g – неизвестные числа. Согласно определения произведения вектора на число и суммы векторов имеем: , , и . Применяя определение равенства двух векторов получим линейную систему трех уравнений относительно неизвестных a, b, g: которую решим по формулам Крамера. Для этого составим четыре определителя 3-го порядка и вычислим их по правилу треугольников:
.
Т. к. , то система имеет единственное решение.
.
.
.
Т. о., по формулам Крамера: , , .
Ответ: .
Задание 4. Даны вершины A 1(1; –1; 2), A 2(2; 1; 2), A 3(1; 1; 4),
A 4(6; –3; 8) пирамиды A 1 A 2 A 3 A 4. Найти: 1) величину угла между ребрами A 1 A 3 и A 1 A 4; 2) площадь грани A 1 A 2 A 3; 3) уравнение плоскости, содержащей грань A 1 A 2 A 3; 4) уравнение высоты пирамиды, проведенной через вершину A 4. Сделать схематический чертеж.
Решение. Сделаем схематический чертеж.
1) Найдем векторы и , проходящие через 2 заданные точки:
,
.
Находим косинус угла между векторами по формуле:
. Следовательно, (рад.).
2) Гранью A 1 A 2 A 3 пирамиды A 1 A 2 A 3 A 4 является треугольник A 1 A 2 A 3, площадь которого определим по формуле: .
Координаты вектора (см. п. 1). Аналогично найдем координаты вектора .
Вычислим теперь векторное произведение векторов и :
.
Тогда длина векторного произведения равна:
.
Т. о., получим: (кв. ед.).
3) Уравнение искомой плоскости составим как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки A 1, A 2, A 3 в форме определителя 3-го порядка: или , или , или
, или , или .
4) Уравнение высоты, опущенной из точки А 4 на грань А 1 А 2 А 3 найдем как прямую, проходящую через точку А 4 перпендикулярно плоскости А 1 А 2 А 3 в форме канонических уравнений прямой , где вектор является направляющем вектором прямой (коллинеарен прямой). В п. 3 было найдено уравнение плоскости А 1 А 2 А 3: , следовательно, ее нормальным вектором является вектор . Т. к. вектор коллинеарен высоте, то его можно выбрать в качестве направляющего вектора прямой. Следовательно, искомое уравнение высоты имеет вид: .
Ответ: 1) величина угла между ребрами A 1 A 3 и A 1 A 4: рад.; 2) площадь грани A 1 A 2 A 3: кв. ед.; 3) уравнение плоскости A 1 A 2 A 3: ; 4) уравнение высоты из вершины A 4: .
2.1. Контрольная работа № 2. «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление».
1. Найти пределы функций.
1. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
2. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
3. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
4. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
5. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
6. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
7. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
8. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
9. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
10. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
2. Найти производные заданных функций.
1. 1) ; 2) ;
3) .
2. 1) ; 2) ;
3) .
3. 1) ; 2) ;
3) .
4. 1) ; 2) ;
3) .
5. 1) ; 2) ;
3) .
6. 1) ; 2) ;
3) .
7. 1) ; 2) ;
3) .
8. 1) ; 2) ;
3) .
9. 1) ; 2) ;
3) .
10. 1) ; 2) ;
3) .
3. Провести полное исследование функции и построить ее график.
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
4. Доказать, что функция z = f (x; y) удовлетворяет данному уравнению.
1. , если .
2. , если .
3. , если .
4. , если .
5. , если .
6. , если .
7. , если .
8. , если .
9. , если .
10. , если .
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 9264 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!