Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры

1) Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда исходя из геометрического смысла определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми (рис. 10.2) численно равна определенному интегралу:

. (11. 1)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. 1 способ. Из рисунка 11.1 видно, что искомая площадь равна: . Найдем координаты точки : , откуда для точки имеем , а для точки имеем . ; ;

2 способ. Если уравнение кривой записать в виде , то искомая площадь будет : .

2) Если функция неположительна и непрерывна на отрезке (рис. 11.2), то площадь

над кривой на отличается знаком от определенного интеграла:   т.е . (11. 2)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой и осью абсцисс.

Решение. На рис. 11.3 приведена плоская фигур, ограниченная параболой , вершина которой находится в точке , и осью . Парабола пересекает ось в точках с координатами и . Площадь этой фигуры, согласно формулы (11.2), равна

(ед. ).

3) Теорема. Если на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что (рис. 11.4).

Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми и на отрезке , вычисляется по формуле: . (11.3)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

. Решение. Из рис. 11.5 видно, что искомая площадь находится по формуле (11.3), полагая . .