Признаки возрастания и убывания функции

Определение. Функция называется возрастающей на интервале , если для любых точек из этого интервала при выполнении условия выполняется неравенство (большему значению аргумента соответствует большее значение функции).

Определение. Аналогично, функция называется убывающей на интервале , если для любых точек из этого интервала при выполнении условия выполняется неравенство (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

Возрастающие на интервале и убывающие на интервале функции называются монотонными на интервале .

Знание производной дифференцируемой функции позволяет находить интервалы ее монотонности.

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой на интервале функции положительна на интервале , то функция монотонно возрастает на этом интервале.

Доказательство. Зафиксируем любые точки на интервале такие, что .

Тогда по следствию из теоремы Лагранжа , где . По условию на всем интервале , то есть , следовательно, . Таким образом, действительно возрастает на , что и требовалось доказать.

Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой на интервале функции отрицательна на интервале , то функция монотонно убывает на этом интервале.

Геометрический смысл этих теорем состоит в том, что на интервалах убывания функции касательные к графику функции образуют с осью тупые углы, а на интервалах возрастания – острые (см. рис. 4).

Алгоритм нахождения интервалов монотонности функции .

1. Найти .
2. Найти нули производной.
3. На числовой оси отметить область определения , нули производной и те точки, где производная не существует.
4. На каждом из полученных интервалов определить знак производной .
5. Сделать вывод о возрастании или убывании функции на каждом интервале.

Пример. Пусть . Найдем . Далее, при и при . Имеем, что при и при , и при . Это значит, что при и при функция возрастает, а при функция убывает.